03 اقدامات میانه و گسترش

اقدامات گرایش مرکزی: حالت ، متوسط ، میانگین ، میانی

حالت مقداری است که بیشتر در داده ها رخ می دهد. برنامه های صفحه گسترده مانند Microsoft Excel یا OpenOffice. org Calc می تواند حالت را با حالت عملکرد تعیین کند.

در پاییز سال 2000 ، کلاس آمار داده هایی را در مورد تعداد خواهران و برادران برای هر یک از اعضای کلاس جمع آوری کرد. یک دانش آموز تنها فرزند بود و خواهر و برادر نداشت. یک دانش آموز 13 برادر و خواهر داشت. مجموعه داده کامل به شرح زیر است:

حالت 2 است زیرا 2 بیشتر از هر مقدار دیگر اتفاق می افتد. جایی که کراوات وجود دارد ، هیچ حالت وجود ندارد.

برای سنین دانش آموزان در آن کلاس

وادهیچ حالت وجود ندارد: بین 21 تا 22 کراوات وجود دارد ، از این رو هیچ یک از ارزش های مکرر وجود ندارد. با این حال ، صفحات گسترده معمولاً در این حالت حالت 21 را گزارش می کنند. صفحات گسترده اغلب حالت اول را با کراوات چند منظوره انتخاب می کنند.

اگر همه مقادیر فقط یک بار ظاهر شوند ، هیچ حالت وجود ندارد. صفحات گسترده #N/A یا #Value را نشان می دهند تا خطایی رخ داده باشد - هیچ حالت وجود ندارد. هیچ حالت مانند حالت صفر نیست. حالت صفر به این معنی است که صفر شایع ترین مقدار داده است. شماره 0 (صفر) را برای "بدون حالت" قرار ندهید. نمونه ای از حالت صفر ممکن است تعداد کودکان برای دانش آموزان در کلاس آمار باشد.

میانه

میانگین مقدار مرکزی (یا میانه) در یک مجموعه داده است. اگر یک عدد در وسط قرار داشته باشد ، این میانه است. اگر وسط بین دو عدد باشد ، میانه بین دو عدد میانی نیمه راه است.

برای داده های خواهر و برادر

وادمیانه 4 است.

توجه داشته باشید که داده ها باید قبل از پیدا کردن میانه ، به ترتیب (مرتب شده) باشند. برای داده های 2 ، 4 ، 6 ، 8 میانه 5 است: (4+6)/2.

عملکرد متوسط در صفحات گسترده متوسط است.

میانگین (متوسط)

میانگین ، که به آن میانگین حسابی نیز گفته می شود و به آن میانگین نیز گفته می شود ، با افزودن مقادیر و سپس تقسیم بر تعداد مقادیر (اندازه نمونه N) به صورت ریاضی محاسبه می شود.

اگر میانگین میانگین جمعیت باشد ، به آن جمعیت میانگین μ گفته می شود. حرف μ یک مورد پایین یونانی "M" است و "MU" تلفظ می شود.

اگر میانگین میانگین یک نمونه باشد ، نمونه آن میانگین X است. نماد X "نوار x" تلفظ می شود.

مجموع داده ها ∑ x را می توان با استفاده از تابع = جمع (داده) تعیین کرد. اندازه نمونه N را می توان با استفاده از = تعداد (داده) تعیین کرد. بنابراین = جمع (داده)/تعداد (داده) میانگین را محاسبه می کند. همچنین یک عملکرد واحد وجود دارد که میانگین را محاسبه می کند. عملکردی که به طور مستقیم میانگین را محاسبه می کند متوسط است

اقدامات مقاوم: مواردی که تحت تأثیر مقادیر داده بسیار بالا یا بسیار کم قرار نمی گیرد. میانگین تمایل به مقاومت بیشتری نسبت به میانگین دارد.

میانگین جمعیت و میانگین نمونه

اگر میانگین با استفاده از کل جمعیت اندازه گیری شود ، این میانگین جمعیت خواهد بود. اگر میانگین از یک نمونه محاسبه شود ، میانگین میانگین نمونه است. از نظر ریاضی هیچ تفاوتی در نحوه محاسبه میانگین جمعیت و نمونه وجود ندارد.

میانی

میانی نقطه میانی بین حداقل و حداکثر در مجموعه ای از داده ها است. میانی از: محاسبه می شود:

میانی = (حداکثر + حداقل)/2

در صفحه گسترده از فرمول زیر استفاده کنید:

تفاوت در توزیع داده ها

دامنه

داده های زیر را در نظر بگیرید:

نه حالت ، میانه و نه میانگین تفاوتهای توزیع داده های فوق را به وضوح نشان نمی دهد. میانگین و میانگین برای هر مجموعه داده یکسان است. حالت برابر با میانگین و میانگین مجموعه داده های اول است و برای آخرین مجموعه داده در دسترس نیست (صفحات گسترده یک حالت 2 را برای آخرین مجموعه داده گزارش می دهند). یک عدد واحد که مشخص می کند چقدر داده ها پخش می شود مفید خواهد بود.

دامنه یکی از راه های ضبط داده ها است. دامنه با کم کردن کوچکترین مقدار از بزرگترین مقدار محاسبه می شود. در صفحه گسترده:

دامنه هنوز تفاوت بین مجموعه 2 و 3 را مشخص نمی کند: مجموعه آخر داده های بیشتری را از مرکز توزیع داده ها دور می کند. دامنه این تفاوت را از دست می دهد.

برای گرفتن گسترش داده ها از یک اندازه گیری مربوط به میانگین فاصله داده ها از میانگین استفاده می کنیم. ما این را انحراف استاندارد می نامیم. اگر جمعیتی داشته باشیم ، این فاصله متوسط را به عنوان انحراف استاندارد جمعیت گزارش می دهیم. اگر یک نمونه داشته باشیم ، ممکن است میانگین فاصله فاصله ما انحراف استاندارد جمعیت واقعی را دست کم بگیرد. در نتیجه فرمول برای انحراف استاندارد نمونه نتیجه را از نظر ریاضی تنظیم می کند تا کمی بزرگتر شود. برای اهداف ما این اعداد با استفاده از توابع صفحه گسترده محاسبه می شوند.

انحراف معیار

یکی از راه های تشخیص تفاوت در توزیع اعداد در مجموعه داده های 2 و مجموعه داده 3 در بالا استفاده از انحراف استاندارد است.

عملکردی که انحراف استاندارد نمونه را محاسبه می کند:

در این متن نماد انحراف استاندارد نمونه معمولاً SX است. در این متن نماد انحراف استاندارد جمعیت معمولاً σ است.

نماد SX معمولاً به انحراف استاندارد داده های متغیر X اشاره می کند. اگر داده های Y وجود داشته باشد ، انحراف استاندارد داده های Y SY است. نمادهای دیگری که برای انحراف استاندارد استفاده می شوند شامل S و σx هستند. برخی از ماشین حساب ها از نمادهای غیرمعمول و گیج کننده σx n-1 و σxn برای نمونه و انحراف استاندارد جمعیت استفاده می کنند.

در این کلاس ما همیشه در محاسبات خود از انحراف استاندارد نمونه استفاده می کنیم. انحراف استاندارد نمونه به گونه ای محاسبه می شود به گونه ای که انحراف استاندارد نمونه کمی بزرگتر از نتیجه فرمول برای انحراف استاندارد جمعیت است. این تنظیم مورد نیاز است زیرا جمعیت تمایل به گسترش کمی بزرگتر از نمونه دارند. در داده های جمعیت احتمال بیشتری از مسافر وجود دارد.

ضریب CV تغییر

ضریب تغییر با تقسیم انحراف استاندارد (معمولاً انحراف استاندارد نمونه) با میانگین محاسبه می شود.

توجه داشته باشید که CV را می توان به عنوان درصد بیان کرد: گروه 2 دارای CV 52 ٪ است در حالی که گروه 3 دارای CV 69 ٪ است. انحراف 3. 46 برای میانگین 5 (3. 46/5 = 69 ٪) بزرگ است اما اگر میانگین 50 (3. 46/50 = 7 ٪) باشد ، اندک است. بنابراین CV می تواند به ما بگوید که انحراف استاندارد نسبت به میانگین چقدر مهم است.

قوانین انگشت شست در مورد گسترش

به عنوان یک تقریب ، انحراف استاندارد برای داده هایی که دارای توزیع متقارن و پشته مانند تقریباً یک چهارم از محدوده است. اگر فقط مقادیر حداقل و حداکثر برای داده ها داده شود ، می توان از این قانون انگشت شست برای تخمین انحراف استاندارد استفاده کرد.

حداقل 75 ٪ از داده ها صرف نظر از شکل توزیع داده ها ، در دو انحراف استاندارد از میانگین قرار خواهند گرفت. حداقل 89 ٪ از داده ها صرف نظر از شکل توزیع داده ها ، در سه انحراف استاندارد از میانگین قرار خواهند گرفت. اگر شکل توزیع داده ها یک پشته متقارن باشد ، به اندازه 95 ٪ از داده ها در دو انحراف استاندارد از میانگین قرار می گیرند.

داده های فراتر از دو انحراف استاندارد به دور از میانگین داده های "غیرمعمول" در نظر گرفته می شود.

آمار اساسی و تعامل آنها با سطح اندازه گیری

سطح اندازه گیری و اقدامات مناسب

در سطح فاصله اندازه گیری یا متوسط یا میانگین بسته به سیستم خاص مورد مطالعه ممکن است مناسب تر باشد. اگر میانه مناسب تر باشد ، باید دامنه آن به عنوان معیار گسترش داده ها نقل شود. اگر میانگین مناسب تر باشد ، باید از انحراف استاندارد به عنوان معیار گسترش داده ها استفاده شود.

روش دیگر برای درک سطحی که می توان نوع خاصی از اندازه گیری را در جدول زیر نشان داد.

سطحی که در آن یک آمار یا پارامتر خاص معنی دارد

به عنوان مثال ، یک حالت ، متوسط و میانگین می تواند برای اقدامات سطح نسبت محاسبه شود. از این موارد ، میانگین معمولاً بهترین اندازه گیری وسط برای یک نمونه تصادفی از داده های سطح نسبت در نظر گرفته می شود.

متغیرها

متغیرهای گسسته

هنگامی که تعداد قابل توجهی از مقادیر وجود دارد که ناشی از مشاهدات است ، می گوییم متغیر تولید نتایج گسسته است. سطح اسمی و منظم اندازه گیری تقریباً همیشه یک متغیر گسسته را اندازه گیری می کند.

مثالهای زیر مقادیر معمولی برای متغیرهای گسسته است:

• درست یا نادرست (2 مقدار)
• بله یا خیر (2 مقدار)
• کاملاً موافق |موافق |خنثی |مخالف |کاملاً مخالف (5 ارزش)

آخرین مثال بالا نتیجه معمولی از نوع نظرسنجی به نام یک بررسی لیکرت است که توسط رنیس لیکرت در سال 1932 تهیه شده است.

هنگام گزارش "ارزش متوسط" برای توزیع گسسته در سطح نظم ، معمولاً گزارش میانه مناسب تر است. برای مطالعه بیشتر در مورد استفاده از میانگین مقادیر با توزیع های گسسته به صفحات نورا مگی و انجمن روانپزشکی کانادا اشاره دارد.

توجه داشته باشید که اگر متغیر فقط سطح اسمی اندازه گیری را اندازه گیری کند ، احتمالاً فقط حالت "معنی" آماری دارد ، سطح اسمی اندازه گیری به خودی خود "میانی" ندارد.

ممکن است موارد نادری وجود داشته باشد که در آن نگاه به میانگین ارزش و انحراف استاندارد برای جستجوی عملکرد مقایسه ای مفید باشد ، اما استفاده از میانگین و انحراف استاندارد در توزیع گسسته یک عمل توصیه نشده است. انجمن روانپزشکی کانادا بحث می کند که چه زمانی ممکن است بتواند قوانین را بشکند و میانگین را در توزیع گسسته محاسبه کند. حتی در این صورت ، به خاطر داشته باشید که نسبت ها بین معنی "معنی" ندارند!

به عنوان مثال ، پرسشنامه اغلب نتایج گسسته ای ایجاد می کند:

نتایج چنین پرسشنامه ای مقادیر عددی از 0 تا 4 است. برای نمونه ای از پرسشنامه الکل دانشجویی واقعی ، به: http://www.indiana. edu/ مراجعه کنید~engs/saq.html

متغیرهای پیوسته

هنگامی که تعداد نامتناهی (یا غیرقابل تحمل) مقادیر وجود دارد که ممکن است ناشی از مشاهدات باشد ، می گوییم متغیر مداوم است. اندازه گیری های فیزیکی مانند قد ، وزن ، سرعت و جرم اندازه گیری های مداوم در نظر گرفته می شود. به خاطر داشته باشید که دستگاه اندازه گیری ما فقط برای تعداد مشخصی از مکان های اعشاری دقیق است. متغیر مداوم است زیرا دستگاه های اندازه گیری بهتر باید نتایج دقیق تری داشته باشند.

مثالهای زیر متغیرهای مداوم هستند:

هنگام گزارش "ارزش متوسط" برای توزیع مداوم ، مناسب است که میانگین و انحراف استاندارد را گزارش دهید. میانگین و انحراف استاندارد فقط برای سطح نسبت اندازه گیری "معنی" دارد.

تعامل بین سطح اندازه گیری ، نوع متغیر و اقدامات میانی و گسترش

سطح اندازه گیری و اقدامات مناسب

اندازه گیری ایستاده نسبی

Z-Scores یک روش مفید برای ترکیب نمرات از داده هایی است که دارای وسایل مختلف و انحراف استاندارد هستند. Z-Scores کاربردی از اقدامات فوق از مرکز و گسترش است.

به یاد داشته باشید که میانگین نتیجه اضافه کردن تمام مقادیر موجود در مجموعه داده و سپس تقسیم بر تعداد مقادیر موجود در مجموعه داده است. کلمه میانگین و میانگین در آمار به طور متناوب استفاده می شود.

همچنین به یاد بیاورید که انحراف استاندارد را می توان به عنوان یک محاسبه ریاضی از میانگین فاصله داده ها از میانگین داده ها تصور کرد. توجه داشته باشید که اگرچه من از کلمات متوسط و میانگین استفاده می کنم ، جمله نیز می تواند "میانگین فاصله داده ها از میانگین داده ها" نوشته شود.

Z-Scores

Z-Scores به سادگی نشان می دهد که چه تعداد انحراف استاندارد به دور از میانگین یک امتیاز خاص است. این "ایستاده نسبی" نامیده می شود ، زیرا این یک اندازه گیری است که در آن داده ها نمره نسبت به میانگین و "استاندارد" توسط انحراف استاندارد است. فرمول Z است:

به پرانتز توجه داشته باشید!

داده هایی که دو انحراف استاندارد در زیر میانگین دارند ، دارای نمره Z-2 هستند ، داده هایی که دو انحراف استاندارد بالاتر از میانگین هستند ، دارای نمره Z +2 هستند. داده های فراتر از دو انحراف استاندارد به دور از میانگین دارای Z-Scores زیر 2 یا بالاتر از 2 خواهد بود.

چرا Z-Scores؟

فرض کنید یک آزمون دارای میانگین نمره 10 و انحراف استاندارد 2 با کل ممکن است 20. فرض کنید یک آزمون دوم دارای میانگین 10 و کل ممکن است 20 اما انحراف استاندارد 8.

در آزمون اول ، نمره 18 نادر خواهد بود ، یک امتیاز غیرمعمول. در آزمون اول 89 ٪ دانش آموزان بین 6 تا 16 امتیاز کسب می کردند (سه انحراف استاندارد زیر میانگین و سه انحراف استاندارد بالاتر از میانگین.

در آزمون دوم نمره 18 تنها یک انحراف استاندارد بالاتر از میانگین خواهد بود. این غیر معمول نخواهد بود ، آزمایش دوم گسترش بیشتری داشت.

با اضافه کردن دو امتیاز از 18 و گفتن این که دانش آموز نمره 36 از 40 بی ارزش را دارد که عملکرد پدیده ای در آزمون اول است.

با تبدیل به Z-Scores ، قدرت نسبی عملکرد در آزمون یک به شدت ارزش بیشتری دارد. نمره Z در آزمون یک (18-10)/2 = 4 خواهد بود ، در حالی که در آزمون دو ، نمره Z (18-10)/8 = 1. عملکرد غیر منتظره برجسته در آزمون یک اکنون منعکس شده استمجموع نمودارهای Z که در آن آزمون اول به مبلغ 4 کمک می کند و آزمون دوم به مبلغ 1 کمک می کند.

هنگامی که مقادیر به Z-Scores تبدیل می شوند ، میانگین نمرات Z صفر است. دانشجویی که در هر یک از آزمون های فوق 10 گل به ثمر رسانده است ، دارای نمره Z از 0 است. در دنیای Z-Scores ، صفر متوسط است!

Z-Scores همچنین به دلیل متفاوت بودن نقاط ممکن در تست های مختلف ، برای وسایل مختلف تنظیم می شود.

دوباره اولین آزمون را در نظر بگیرید که میانگین نمره 10 و انحراف استاندارد 2 با کل ممکن است 20 باشد. اکنون یک آزمون سوم را با میانگین 100 و انحراف استاندارد 40 با کل 200 در نظر بگیرید. در این سومآزمون یک نمره 140 زیاد است ، اما به طور غیرمعمول زیاد نیست.

با افزودن نمرات و گفتن دانش آموز نمره 158 از 220 بار دیگر ، عملکرد فوق العاده ای را در آزمون یک نشان می دهد. نمره در آزمون یک توسط کل ممکن در آزمون سه کوتوله می شود. به عبارت دیگر ، 18 امتیاز آزمون یک تنها 11 ٪ از 158 امتیاز را به خود اختصاص می دهد. 89 ٪ دیگر نمره آزمون سه است. ما برای تست سه وزن بیشتر هشت برابر می کنیم. Z-Scores از 4 و 1 به پنج اضافه می شود. این وزن برابر با هر تست است و مقدار حاصل از Z-Scores نشان دهنده عملکرد قوی در تست یک با وزن برابر با عملکرد معمولی در آزمون سه است.

Z-Scores فقط جایگاه نسبی را فراهم می کند. اگر یک آزمون دوباره انجام شود و همه دانش آموزانی که آزمون را انجام می دهند ، بار دوم بهتر می شوند ، میانگین بالا می رود و مانند یک جزر و مد "همه قایق ها را به طور یکسان بلند می کند."بنابراین ممکن است یک دانش آموز فردی بهتر عمل کند ، اما به دلیل افزایش میانگین ، نمره Z آنها می تواند یکسان باشد. این همچنین روند نزولی استفاده از Z-Scores برای مقایسه عملکرد بین آزمایشات است - تغییرات در "سطح دریا" مبهم است. فرد باید میانگین و انحراف استاندارد را بشناسد و اینکه آیا آنها به درستی تفسیر یک نمره Z تغییر یافته اند.