15. 2 انرژی در حرکت هارمونیک ساده

ساخت وبلاگ

آخرین مطالب

امکانات وب

15. 2 انرژی در حرکت هارمونیک ساده

برای ایجاد تغییر شکل در یک شی ، ما باید کار کنیم. یعنی ، خواه شما یک رشته گیتار را بکشید و یا کمک فنر یک ماشین را فشرده کنید ، باید از طریق فاصله ای نیرو اعمال شود. اگر تنها نتیجه تغییر شکل باشد و هیچ اثری به انرژی حرارتی ، صدا یا جنبشی نمی رود ، در ابتدا تمام کارها به عنوان نوعی از انرژی بالقوه در جسم تغییر شکل ذخیره می شوند.

نمونه بلوک متصل به چشمه را روی یک میز بدون اصطکاک در نظر بگیرید که در SHM نوسان می کند. نیروی بهار یک نیروی محافظه کارانه است (که شما در این فصل در مورد انرژی بالقوه و حفاظت از انرژی مطالعه کرده اید) ، و ما می توانیم انرژی بالقوه ای را برای آن تعریف کنیم. این انرژی بالقوه انرژی ذخیره شده در بهار هنگام افزایش یا فشرده شدن چشمه است. در این حالت ، بلوک در یک بعد با نیروی چشمه موازی با حرکت عمل می کند:

هنگام در نظر گرفتن انرژی ذخیره شده در بهار ، موقعیت تعادل ، که به عنوان [لاتکس] _ = 0. 00 ، Text [/لاتکس] مشخص شده است ، موقعیتی است که انرژی ذخیره شده در چشمه برابر با صفر است. هنگامی که بهار کشیده شده یا از فاصله X فشرده شده است ، انرژی بالقوه ذخیره شده در بهار است

انرژی و نوسان ساز هارمونیک ساده

برای مطالعه انرژی یک نوسان ساز هارمونیک ساده ، باید تمام اشکال انرژی را در نظر بگیریم. نمونه بلوک متصل به چشمه را در نظر بگیرید که روی یک سطح بدون اصطکاک قرار گرفته و در SHM نوسان می کند. انرژی بالقوه ذخیره شده در تغییر شکل بهار است

در یک نوسان ساز هارمونیک ساده ، انرژی بین انرژی جنبشی جرم [لاتکس] k = fracm^[/لاتکس] و انرژی بالقوه [لاتکس] u = frack^[/لاتکس] ذخیره شده در بهار نوسان می کند. در SHM سیستم جرم و بهار ، هیچ نیرویی اتلاف وجود ندارد ، بنابراین کل انرژی مجموع انرژی بالقوه و انرژی جنبشی است. در این بخش ، ما حفظ انرژی سیستم را در نظر می گیریم. مفاهیم مورد بررسی برای همه نوسان سازهای هارمونیک ساده ، از جمله مواردی که نیروی گرانشی نقش دارد ، معتبر است.

شکل را در نظر بگیرید ، که یک بلوک نوسان کننده متصل به چشمه را نشان می دهد. در مورد SHM بدون فشار ، انرژی بین جنبشی و پتانسیل به عقب و جلو نوسان می کند و با نوسان سیستم کاملاً از یک شکل انرژی به دیگری می رود. بنابراین برای مثال ساده یک شی روی یک سطح بدون اصطکاک متصل به چشمه ، حرکت با تمام انرژی ذخیره شده در بهار به عنوان انرژی پتانسیل الاستیک شروع می شود. از آنجا که شی شروع به حرکت می کند ، انرژی پتانسیل الاستیک به انرژی جنبشی تبدیل می شود و به انرژی کاملاً جنبشی در موقعیت تعادل تبدیل می شود. سپس انرژی به چشمه به عنوان کشش یا فشرده شدن به انرژی پتانسیل الاستیک تبدیل می شود. هنگامی که انرژی جنبشی کاملاً تبدیل می شود ، سرعت صفر می شود و سپس این چرخه تکرار می شود. دانستن حفاظت از انرژی در این چرخه ها بینش بیشتری را در اینجا و در برنامه های بعدی SHM مانند مدارهای متناوب فراهم می کند.

The motion and energy of a mass attached to a horizontal spring, spring constant k, at various points in its motion. In figure (a) the mass is displaced to a position x = A to the right of x =0 and released from rest (v=0.) The spring is stretched. The force on the mass is to the left. The diagram is labeled with one half k A squared. (b) The mass is at x = 0 and moving in the negative x-direction with velocity – v sub max. The spring is relaxed. The Force on the mass is zero. The diagram is labeled with one half m quantity v sub max squared. (c) The mass is at minus A, to the left of x = 0 and is at rest (v =0.) The spring is compressed. The force F is to the right. The diagram is labeled with one half k quantity minus A squared. (d) The mass is at x = 0 and moving in the positive x-direction with velocity plus v sub max. The spring is relaxed. The Force on the mass is zero. The diagram is labeled with one half m v sub max squared. (e) the mass is again at x = A to the right of x =0. The diagram is labeled with one half k A squared.

شکل 15. 10 تبدیل انرژی در SHM برای یک شیء متصل به چشمه در سطح بدون اصطکاک.(الف) هنگامی که جرم در موقعیت قرار دارد [لاتکس] x =+a [/لاتکس] ، تمام انرژی به عنوان انرژی بالقوه در بهار ذخیره می شود [لاتکس] u = frack^[/لاتکس]. انرژی جنبشی برابر با صفر است زیرا سرعت جرم صفر است.(ب) با حرکت جرم به سمت [لاتکس] x = texta [/لاتکس] ، جرم از موقعیت [لاتکس] x = 0 [/لاتکس] عبور می کند. در این مرحله ، بهار نه گسترش یافته و نه فشرده شده ، بنابراین انرژی بالقوه ذخیره شده در بهار صفر است. در [لاتکس] x = 0 [/لاتکس] ، انرژی کل تمام انرژی جنبشی است که در آن [لاتکس] k = fracm<( ext_>)>^[/لاتکس].(ج) توده همچنان حرکت می کند تا رسیدن به [لاتکس] x = texta [/لاتکس] که در آن توده متوقف می شود و شروع به حرکت به سمت [لاتکس] x =+a [/لاتکس] می کند. در موقعیت [لاتکس] x = texta [/لاتکس] ، کل انرژی به عنوان انرژی بالقوه در [لاتکس] u = frack ذخیره می شود<( extA)>^[/latex] and the kinetic energy is zero. (d) As the mass passes through the position [latex]x=0[/latex], the kinetic energy is [latex]K=fracm_>^[/لاتکس] و انرژی بالقوه ذخیره شده در بهار صفر است.(ه) جرم به موقعیت [لاتکس] x =+a [/لاتکس] برمی گردد ، جایی که [لاتکس] k = 0 [/لاتکس] و [لاتکس] u = frack^[/لاتکس].

شکل را در نظر بگیرید ، که انرژی را در نقاط خاص حرکت دوره ای نشان می دهد. در حالی که ثابت ماند ، انرژی بین انرژی جنبشی بلوک و انرژی بالقوه ذخیره شده در بهار نوسان می کند:

حرکت بلوک در یک چشمه در SHM توسط موقعیت [لاتکس] x (t) = a text ( omega t+ varphi) [/لاتکس] با سرعت [لاتکس] v (t) = تعریف می شود. Texta Omega TEXT ( OMEGA T+ VARPHI) [/لاتکس]. با استفاده از این معادلات ، هویت مثلث [لاتکس]< ext>^ تتا +< ext>^ heta =1[/latex] and [latex]omega =sqrt>[/لاتکس] ، ما می توانیم کل انرژی سیستم را پیدا کنیم:

The total energy of the system of a block and a spring is equal to the sum of the potential energy stored in the spring plus the kinetic energy of the block and is proportional to the square of the amplitude [latex]_>= (1 متن2) K^. [/لاتکس] انرژی کل سیستم ثابت است.

نگاهی دقیق تر به انرژی سیستم نشان می دهد که انرژی جنبشی مانند یک تابع مربع سینوسی نوسان می کند ، در حالی که انرژی بالقوه مانند یک عملکرد مربع کسین نوسان می کند. با این حال ، انرژی کل سیستم ثابت است و متناسب با دامنه مربع است. شکل یک طرح از انرژی های پتانسیل ، جنبشی و کل سیستم بلوک و بهار را به عنوان تابعی از زمان نشان می دهد. همچنین موقعیت و سرعت به عنوان تابعی از زمان ترسیم شده است. قبل از زمان [لاتکس] t = 0. 0 ، متن [/لاتکس] بلوک به چشمه وصل شده و در موقعیت تعادل قرار می گیرد. کار با استفاده از یک نیروی خارجی روی بلوک انجام می شود و آن را به موقعیت [لاتکس] x =+a [/لاتکس] می کشید. اکنون این سیستم دارای انرژی بالقوه ذخیره شده در بهار است. در زمان [لاتکس] t = 0. 00 ، متن [/لاتکس] موقعیت بلوک برابر با دامنه است ، انرژی بالقوه ذخیره شده در بهار برابر است با [لاتکس] u = frack^[/لاتکس] ،و نیروی موجود در بلوک حداکثر است و در سمت منفی x-direction [لاتکس] (_ = textka) [/لاتکس] امتیاز می دهد. سرعت و انرژی جنبشی بلوک در زمان صفر است [لاتکس] t = 0. 00 ، متن متن<.>[/لاتکس] در زمان [لاتکس] t = 0. 00 ، متن [/لاتکس] بلوک از استراحت آزاد می شود.

Graphs of the energy, position, and velocity as functions of time for a mass on a spring. On the left is the graph of energy in Joules (J) versus time in seconds. The vertical axis range is zero to one half k A squared. The horizontal axis range is zero to T. Three curves are shown. The total energy E sub total is shown as a green line. The total energy is a constant at a value of one half k A squared. The kinetic energy K equals one half m v squared is shown as a red curve. K starts at zero energy at t=0, and rises to a maximum value of one half k A squared at time 1/4 T, then decreases to zero at 1/2 T, rises to one half k A squared at 3/4 T, and is zero again at T. Potential energy U equals one half k x squared is shown as a blue curve. U starts at maximum energy of one half k A squared at t=0, decreases to zero at 1/4 T, rises to one half k A squared at 1/2 T, is zero again at 3/4 T and is at the maximum of one half k A squared again at t=T. On the right is a graph of position versus time above a graph of velocity versus time. The position graph has x in meters, ranging from –A to +A, versus time in seconds. The position is at +A and decreasing at t=0, reaches a minimum of –A, then rises to +A. The velocity graph has v in m/s, ranging from minus v sub max to plus v sub max, versus time in seconds. The velocity is zero and decreasing at t=0, and reaches a minimum of minus v sub max at the same time that the position graph is zero. The velocity is zero again when the position is at x=-A, rises to plus v sub max when the position is zero, and v=0 at the end of the graph, where the position Is again maximum.

شکل 15. 12 نمودار انرژی جنبشی ، انرژی بالقوه و انرژی کل یک بلوک نوسان در چشمه در SHM. همچنین نمودارهای موقعیت در مقابل زمان و سرعت در مقابل زمان نشان داده شده است. انرژی کل ثابت است ، اما انرژی بین انرژی جنبشی و انرژی بالقوه نوسان می کند. وقتی انرژی جنبشی حداکثر باشد ، انرژی بالقوه صفر است. این زمانی اتفاق می افتد که سرعت حداکثر باشد و جرم در حالت تعادل قرار دارد. انرژی بالقوه در هنگام صفر سرعت حداکثر است. انرژی کل مجموع انرژی جنبشی به علاوه انرژی بالقوه است و ثابت است.

نوسانات در مورد موقعیت تعادل

ما فقط انرژی SHM را به عنوان تابعی از زمان در نظر گرفته ایم. یکی دیگر از دیدگاههای جالب در مورد نوسان ساز هارمونیک ساده ، در نظر گرفتن انرژی به عنوان تابعی از موقعیت است. شکل نمودار انرژی در مقابل موقعیت سیستم تحت SHM را نشان می دهد.

Graph of energy E in Joules on the vertical axis versus position x in meters on the horizontal axis. The horizontal axis had x=0 labeled as the equilibrium position with F=0. Positions x=-A and x=+A are labeled as tuing points. A concave down parabola in red, labeled as K, has its maximum value of E=E total at x=0 and is zero at x=-A and x=+A. A horizontal green line at a constant E value of E total is labeled as E total. A concave up parabola in blue, labeled as U, intersects the green line with a value of E=E total at x=-A and x=+A and is zero at x=0. The region of the graph to the left of x=0 is labeled with a red arrow pointing to the right and the equation F equals minus the derivative of U with respect to x. The region of the graph to the right of x=0 is labeled with a red arrow pointing to the left and the equation F equals minus the derivative of U with respect to x.

شکل 15. 13 نمودار انرژی جنبشی (قرمز) ، انرژی بالقوه (آبی) و انرژی کل (سبز) یک نوسان ساز هارمونیک ساده. نیرو برابر است با [لاتکس] f =- frac [/لاتکس]. موقعیت تعادل به عنوان یک نقطه سیاه نشان داده شده است و نقطه ای است که نیرو برابر با صفر است. نیرو مثبت است که [لاتکس] x lt 0 [/لاتکس] ، منفی هنگامی که [لاتکس] x gt 0 [/لاتکس] ، و برابر با صفر وقتی [لاتکس] x = 0 [/لاتکس] برابر است.

منحنی انرژی بالقوه در شکل شبیه به یک کاسه است. هنگامی که یک مرمر در یک کاسه قرار می گیرد ، در پایین ترین نقطه کاسه [لاتکس] (x = 0) [/لاتکس] به موقعیت تعادل مستقر می شود. این اتفاق می افتد زیرا یک نیروی بازگرداندن به نقطه تعادل اشاره می کند. این نقطه تعادل گاهی به عنوان یک نقطه ثابت گفته می شود. هنگامی که مرمر در موقعیت دیگری [لاتکس] (x =+a) [/لاتکس] مختل می شود ، مرمر در اطراف موقعیت تعادل نوسان می کند. با نگاهی به نمودار انرژی بالقوه ، با نگاه کردن به شیب نمودار انرژی بالقوه [لاتکس] (f =- frac) [/لاتکس] را می توان پیدا کرد. از آنجا که نیرو در هر دو طرف نقطه ثابت به سمت نقطه تعادل ، نقطه تعادل یک نقطه تعادل پایدار نامیده می شود. نقاط [لاتکس] x = a [/لاتکس] و [لاتکس] x = texta [/لاتکس] نقاط عطف نامیده می شوند.(به انرژی بالقوه و حفظ انرژی مراجعه کنید.)

ثبات یک مفهوم مهم است. اگر یک نقطه تعادل پایدار باشد ، یک اختلال جزئی از یک شیء که در ابتدا در نقطه تعادل پایدار قرار دارد ، باعث می شود که جسم در اطراف آن نقطه نوسان کند. نقطه تعادل پایدار اتفاق می افتد زیرا نیرو از هر طرف به سمت آن هدایت می شود. برای یک نقطه تعادل ناپایدار ، اگر جسم کمی مختل شود ، به نقطه تعادل باز نمی گردد.

مرمر را در مثال کاسه در نظر بگیرید. اگر کاسه سمت راست باشد ، مرمر اگر کمی آشفته شود ، در اطراف نقطه تعادل پایدار نوسان می کند. اگر کاسه وارونه باشد ، مرمر را می توان در قسمت بالا متعادل کرد ، در نقطه تعادل که نیروی خالص صفر است. با این حال ، اگر سنگ مرمر کمی مختل شود ، به نقطه تعادل برنگردد ، اما در عوض کاسه را خاموش می کند. دلیل این امر این است که نیرو در هر دو طرف نقطه تعادل به دور از آن نقطه هدایت می شود. این نکته یک نقطه تعادل ناپایدار است.

شکل سه شرط را نشان می دهد. حالت اول یک نقطه تعادل پایدار (A) است ، دوم یک نقطه تعادل ناپایدار (B) است ، و آخرین مورد نیز یک نقطه تعادل ناپایدار (C) است ، زیرا نیرویی که فقط یک طرف به سمت تعادل می رود.

Three illustrations of a ball on a surface. In figure a, stable equilibrium point, the ball is inside a concave-up surface, at the bottom. A filled circle under the surface, below the ball, has two horizontal arrows labeled as F pointing toward it from either side. Gray arrows tangent to the surface are shown inside the surface, pointing down the slope, toward the ball’s position. In figure b, unstable equilibrium point, the ball is on top of a concave-down surface, at the top. An empty circle under the surface, below the ball, has two horizontal arrows labeled as F pointing away it from either side. Gray arrows tangent to the surface are shown inside the surface, pointing down the slope, away from the ball’s position. In figure c, unstable equilibrium point, the ball is on the inflection point of a surface. A half-filled circle under the surface, below the ball, has two horizontal arrows labeled as F, one on either side of the circle, both pointing to the left. Gray arrows tangent to the surface are shown inside the surface, pointing down the slope, one toward the ball and the other away from it.

شکل 15. 14 نمونه از نقاط تعادل.(الف) نقطه تعادل پایدار.(ب) نقطه تعادل ناپایدار.(ج) نقطه تعادل ناپایدار (که بعضاً به عنوان یک نقطه تعادل نیمه پایدار گفته می شود).

فرایند تعیین اینکه آیا یک نقطه تعادل پایدار است یا ناپایدار می تواند رسمی شود. منحنی های انرژی بالقوه نشان داده شده در شکل را در نظر بگیرید. با تجزیه و تحلیل شیب نمودار می توان این نیرو را یافت. نیرو [لاتکس] f =- frac است. [/لاتکس] در (a) ، نقطه ثابت در [لاتکس] x = 0. 00 ، text text است<.>[/لاتکس] هنگامی که [لاتکس] x lt 0. 00 ، text [/لاتکس] نیرو مثبت است. هنگامی که [لاتکس] x gt 0. 00 ، متن [/لاتکس] نیرو منفی است. این یک نکته پایدار است. در (ب) ، نقطه ثابت در [لاتکس] x = 0. 00 ، text text است<.>[/لاتکس] هنگامی که [لاتکس] x lt 0. 00 ، text [/لاتکس] نیرو منفی است. هنگامی که [لاتکس] x gt 0. 00 ، text [/لاتکس] نیرو نیز منفی است. این یک نکته ناپایدار است.

Two graphs of U in Joules on the vertical axis as a function of x in meters on the horizontal axis. In figure a, U of x is an upward opening parabola whose vertex is marked with a black dot and is at x=0, U=0. The region of the graph to the left of x=0 is labeled with a red arrow pointing to the right and the equation F equals minus the derivative of U with respect to x is greater than zero. The region of the graph to the right of x=0 is labeled with a red arrow pointing to the left and the equation F equals minus the derivative of U with respect to x is less than zero. Below the graph is a copy of the dot between copies of the red arrows and the force relations, F equals minus the derivative of U with respect to x is greater than zero on the left and F equals minus the derivative of U with respect to x is less than zero on the right. In figure b, U of x is an increasing function with an inflection point that is marked with a half filled circle at x=0, U=0. The region of the graph to the left of x=0 is labeled with a red arrow pointing to the left and the equation F equals minus the derivative of U with respect to x is less than zero. The region of the graph to the right of x=0 is also labeled with a red arrow pointing to the left and the equation F equals minus the derivative of U with respect to x is less than zero. Below the graph is a copy of the circle between copies of the red arrows, both of which point to the left, and the force relations, F equals minus the derivative of U with respect to x is less than zero on the left and F equals minus the derivative of U with respect to x is less than zero on the right.

شکل 15. 15 دو نمونه از یک عملکرد انرژی بالقوه. نیرو در یک موقعیت برابر با منفی شیب نمودار در آن موقعیت است.(الف) یک عملکرد انرژی بالقوه با یک نقطه تعادل پایدار.(ب) یک عملکرد انرژی بالقوه با یک نقطه تعادل ناپایدار. این نقطه گاهی اوقات نیمه پایدار خوانده می شود زیرا نیرو در یک طرف به سمت نقطه ثابت حرکت می کند.

کاربرد عملی مفهوم نقاط تعادل پایدار ، نیرو بین دو اتم خنثی در یک مولکول است. اگر دو مولکول در مجاورت نزدیک باشند ، با چند قطر اتمی از هم جدا شوند ، می توانند یک نیروی جذاب را تجربه کنند. اگر مولکول ها به اندازه کافی نزدیک حرکت کنند به طوری که پوسته های الکترونی الکترونهای دیگر با هم همپوشانی دارند ، نیروی بین مولکول ها دافع می شوند. نیروی جذاب بین دو اتم ممکن است باعث شود اتم ها یک مولکول تشکیل دهند. نیروی بین دو مولکول یک نیروی خطی نیست و نمی توان به سادگی به عنوان دو توده جدا شده توسط یک چشمه مدل شد ، اما اتمهای مولکول می توانند در هنگام جابجایی مقدار کمی از موقعیت تعادل ، در اطراف یک نقطه تعادل نوسان کنند. اتمها به دلیل نیروی جذاب و نیروی دافع کننده بین دو اتم نوسان می کنند.

یک نمونه از تعامل بین دو اتم معروف به تعامل ون در والس را در نظر بگیرید. بحث در مورد تعامل دو اتم فراتر از محدوده این فصل است ، اما نوسانات اتمها را می توان با در نظر گرفتن یک نمونه از یک مدل از انرژی بالقوه سیستم بررسی کرد. یک پیشنهاد برای مدل سازی انرژی بالقوه این مولکول با پتانسیل Leard-Jones 6-12 است:

نمودار این عملکرد در شکل نشان داده شده است. دو پارامتر [لاتکس] epsilon [/لاتکس] و [لاتکس] سیگما [/لاتکس] به صورت تجربی یافت می شوند.

An aotated graph of E in Joules on the vertical axis as a function of x in meters on the horizontal axis. The Leard-Jones potential, U, is shown as a blue curve that is large and positive at small x. It decreases rapidly, becomes negative, and continues to decrease until it reaches a minimum value at a position marked as the equilibrium position, F=0, then gradually increases and approaches E=0 asymptotically but remains negative. A horizontal green line of constant, negative value is labeled as E total. The green and blue E total and U curves cross at two places. The x value of the crossing to the left of the equilibrium position is labeled tuing point, minus A, and the crossing to the right of the equilibrium position is labeled tuing point, plus A. The region of the graph to the left of the equilibrium position is labeled with a red arrow pointing to the right and the equation F equals minus the derivative of U with respect to. The region of the graph to the right of the equilibrium position is labeled with a red arrow pointing to the left and the equation F equals minus the derivative of U with respect to x.

شکل 15. 16 عملکرد انرژی بالقوه Leard-Jones برای یک سیستم دو اتم خنثی. اگر انرژی زیر حداکثر انرژی باشد ، سیستم در نزدیکی موقعیت تعادل بین دو نقطه عطف نوسان می کند.

From the graph, you can see that there is a potential energy well, which has some similarities to the potential energy well of the potential energy function of the simple harmonic oscillator discussed in Figure. The Leard-Jones potential has a stable equilibrium point where the potential energy is minimum and the force on either side of the equilibrium point points toward equilibrium point. Note that unlike the simple harmonic oscillator, the potential well of the Leard-Jones potential is not symmetric. This is due to the fact that the force between the atoms is not a Hooke’s law force and is not linear. The atoms can still oscillate around the equilibrium position [latex]_>[/latex] because when [latex]x lt _>[/latex], the force is positive; when [latex]x gt _>[/لاتکس] ، نیرو منفی است. توجه کنید که با نزدیک شدن X به صفر ، شیب کاملاً شیب دار و منفی است ، به این معنی که این نیرو بزرگ و مثبت است. این نشان می دهد که سعی می کند اتم ها را به هم نزدیک کند. هرچه X به طور فزاینده ای بزرگ شود ، شیب کمتر شیب دار می شود و نیرو کوچکتر و منفی است. این نشان می دهد که در صورت انرژی کافی بزرگ ، اتم ها می توانند از هم جدا شوند.

اگر به این تعامل علاقه دارید ، با استفاده از مشتق عملکرد انرژی بالقوه ، نیرو بین مولکول ها را پیدا کنید. بلافاصله خواهید دید که این نیرو شبیه نیروی قانونی هوک [لاتکس] (f = textkx) [/لاتکس] نیست ، اما اگر با قضیه دوتایی آشنا هستید:

بازار رمزارزها...
ما را در سایت بازار رمزارزها دنبال می کنید

برچسب : نویسنده : محمود کیانوش بازدید : <-PostHit-> تاريخ : چهارشنبه 16 فروردين 1402 ساعت: 15:40

آرشیو مطالب

پيوندهای روزانه

لینک دوستان

خبرنامه