بینش ریاضی

هر دو واگرایی و فرفری اپراتورهای بردار هستند که خصوصیات آنها با مشاهده یک میدان بردار به عنوان جریان مایع یا گاز آشکار می شود. در اینجا ما بر خصوصیات هندسی واگرایی تمرکز می کنیم. می توانید بحث مشابهی در مورد حلقه را در صفحه دیگر بخوانید.

واگرایی یک میدان بردار درک شهودی نسبتاً آسان است. تصور کنید که قسمت بردار $ dlvf $ که در تصویر زیر مشاهده می شود ، سرعت برخی از جریان سیال را نشان می دهد. به نظر می رسد که این مایع به بیرون از منشأ منفجر می شود.

این گسترش سیال در حال جریان با میدان سرعت $ dlvf $ با واگرایی $ dlvf $ ، که ما $ div dlvf $ را نشان می دهیم ، ضبط می شود. واگرایی میدان بردار فوق از زمان گسترش جریان مثبت است.

در مقابل ، قسمت بردار زیر نشانگر جریان سیال است به طوری که با حرکت به سمت مبدا فشرده می شود. از آنجا که این فشرده سازی مایعات برعکس گسترش است ، واگرایی این قسمت بردار منفی است.

The divergence is defined for both two-dimensional vector fields $dlvf(x,y)$ and three-dimensional vector fields $dlvf(x,y,z)$. A three-dimensional vector field $dlvf$ showing expansion of fluid flow is shown in the below applet. Again, because of the expansion, we can conclude that $div dlvf(x,y)>0$.

دستگاه بارگیری اپلت

میدان بردار واگرا. میدان بردار سه بعدی برای نشان دادن جریان سیال با واگرایی مثبت استفاده می شود. می توانید نمودار را با ماوس بچرخانید تا از زوایای مختلف مشاهده شود.

حال تصور کنید که یکی کره $ dls $ را در جریان سیال با محوریت مبدا قرار داده است. واضح است که مایع از کره خارج می شود.

دستگاه بارگیری اپلت

میدان بردار واگرا با کره تعبیه شده. یک کره در یک میدان وکتور در حال گسترش تعبیه شده است که می تواند نشانگر جریان سیال باشد. این واقعیت که مایعات از کره خارج می شوند ، نشانه واگرایی مثبت میدان بردار است. با ماوس بچرخید تا دیدگاه را تغییر دهید.

با کشیدن آن با ماوس می توانید کره را حرکت دهید. مهم نیست که موقعیت کره ، مایعات بیشتر از کره خارج می شوند تا به کره. این واقعیت نشان می دهد که میدان بردار در همه جا واگرایی مثبت دارد.

هنگامی که در مورد قضیه واگرایی یاد می گیرید ، خواهید فهمید که واگرایی یک میدان بردار و جریان خارج از حوزه ها از نزدیک مرتبط است. برای درک اساسی از واگرایی ، کافی است که ببینیم اگر یک مایع در حال گسترش باشد (یعنی جریان دارای واگرایی مثبت در همه جای داخل کره است) ، جریان خالص از یک کره مثبت خواهد بود.

از آنجا که قسمت بردار فوق در همه جا واگرایی مثبت دارد ، حتی اگر کره را از مبدا دور کنیم ، جریان از کره مثبت خواهد بود. آیا می توانید ببینید که چرا حتی وقتی کره را با ماوس حرکت می دهید ، هنوز هم مثبت است؟

توجه کنید که فلش ها همچنان که از منشأ دور می شوند ، طولانی تر می شوند تا مایعات هنگام خروج از کره سریعتر از زمان ورود به آن جریان یابد. علاوه بر این ، از آنجا که فلش ها به بیرون تابش می کنند ، مایع همیشه در کمتر از نیمی از سطح خود وارد کره می شود و در حال خروج از کره بیش از نیمی از سطح آن است. از این رو ، جریان خارج از کره همیشه بیشتر از جریان به داخل کره است.

واگرایی یک میدان بردار به سادگی اندازه گیری میزان جریان در یک نقطه معین را اندازه گیری می کند. این نشان نمی دهد که در چه جهت گسترش در حال وقوع است. از این رو (بر خلاف حلقه یک میدان بردار) ، واگرایی یک مقیاس است. هنگامی که فرمول واگرایی را می دانید ، محاسبه واگرایی یک بردار ، مانند این مثال ، بسیار ساده است.

مشاهده واگرایی از تصاویر؟

هشدار: این نمونه های ساده از تجسم واگرایی ممکن است گمراه کننده باشد. تخمین واگرایی از یک تصویر به اندازه ای ساده نیست که از بحث فوق به نظر برسد ، که عمداً برای نشان دادن مفهوم واگرایی بیش از حد ساده شده است. تشخیص گسترش جریان سیال صرفاً به دنبال جریان است که به بیرون تابش می شود. در حقیقت ، می توان جریان داشت که حتی در حالی که یک مایع در حال فشرده سازی است ، به بیرون تابش می یابد (که اگر جریان با حرکت به بیرون حرکت کند ممکن است رخ دهد). برای محافظت از خود در برابر گمراهی در تصاویر از زمینه های بردار ، برخی از نمونه هایی را که نشان دهنده ظرافت های واگرایی است ، ببینید.