داوری در بازار دوتایی هرمیت

توجه زیادی به فرصت های داوری در مدل سیاه و سیاه و سفید هنگامی که توسط حرکات قهوه ای کسری هدایت می شود ، مورد توجه قرار گرفته است. طبیعی است که بپرسیم که آیا وقتی روی فرآیندهای کسری دیگر مانند فرآیند هرمیت تمرکز می کنیم ، داوری وجود دارد یا نه. ما تقریب مدل Hermite Blac k-Scholes را با پیاده روی های تصادفی در توپولوژی Skorokhod قرار دادیم و تقریب نوع Donsker را در فرآیند هرمیت اعمال می کنیم زیرا شاخص Hurst بیشتر از 1 2 است. ما می دانیم که تقریب مدل باینری مدل سیاه و سفید که توسط فرآیندهای هرمیت هدایت می شود ، فرصت های داوری را نیز می پذیرد. چندین نمونه عددی از مدل دوتایی هرمیت به عنوان تظاهرات ارائه شده است. علاوه بر این ، ما یک مدل قیمت گذاری گزینه ای را ارائه می دهیم که فرآیندهای هندسی هرمیت نوسانات قیمت دارایی زیرین را هدایت می کند.

1. مقدمه

از آنجا که کار شناخته شده [1] ، مدل های زمان مداوم به طور گسترده ای در زمینه امور مالی اعمال شده است. به عنوان مثال ، [1] از حرکت معروف هندسی براونیان برای توصیف دارایی اساسی برای گزینه های قیمت گذاری استفاده کرد. حرکت هندسی براونیان به این معنی است که بازده ورود دارایی های مالی مستقل و گاوسی است. با این حال ، تعداد زیادی از آثار در مورد خصوصیات آماری برگشتی های ورود به سیستم ، شفابخش بودن بازده دارایی های مالی و پدیده وابستگی دوربرد را مستند کرده است (به عنوان مثال ، [2،3،4]). بنابراین ، با استفاده از برخی فرآیندهای کسری (به عنوان مثال ، [5،6]) ، اقتصادسین ها کارهای زیادی در زمینه توصیف ویژگی های حافظه طولانی متغیرهای سری زمانی (مانند قیمت سهام ، قیمت کالاها ، شاخص های بازار ، نوسانات دارایی انجام داده اند. و نرخ ارز). علاوه بر این ، فرآیندهای تصادفی با وابستگی دوربرد در نظر گرفته شده است که پدیده ها را در زمینه های مختلف به تصویر می کشد ، به عنوان مثال ، ارتباط از راه دور ، چشم انداز رایانه (داده های پردازش تصویر) ، شبکه های ترافیکی (داده های شبکه اترنت) ، هیدرولوژی (تجمع آب پر سر و صدا یا داده های بارندگی در رودخانهسنج) و غیره.

بدیهی است که حرکت براونی کسری (fBm) [7] یکی از محبوب ترین و پرکاربردترین فرآیندهای تصادفی است که وابستگی دوربرد را ارائه می دهد. به طور خاص، رفتارهایی مانند خود مشابه، وابستگی دوربرد و انفجار fBm در مسیر نمونه نمونه های خوبی از متغیرهای سری زمانی مالی هستند. بنابراین، کاربرد fBm در امور مالی به طور گسترده از هر دو دیدگاه نظری و تجربی مورد بحث قرار گرفته است (به عنوان مثال، [8،9،10،11،12]). از آنجایی که fBm یک نیمه مارتینگال نیست، مفاهیم اساسی مالی ریاضی ارائه شده توسط [13] قبلاً نشان می دهد که fBm فقط نوع خاصی از آربیتراژ را مجاز می کند. از این رو، روش های به دست آوردن فرصت های آربیتراژ مدل بلک شولز مدوله شده با fBm و مستثنی کردن آربیتراژ در fBm در دو دهه گذشته به شدت مورد بررسی قرار گرفته اند (به عنوان مثال، [14،15،16،17،18،19،20،21،22]). در این مورد، استفاده از مدل بلک شولز تعدیل شده با fBm در امور مالی پیچیده است، زیرا fBm می تواند برای مدل سازی پدیده های مشابه خود و وابستگی دوربرد برای متغیرهای سری زمانی مالی، و یک سیاه مدوله شده با fBm استفاده شود. مدل اسکولز فرصت های آربیتراژ را به تصویر می کشد. ثابت شده است که هیچ روش قیمت گذاری آربیتراژ نمی تواند به درستی در مدل بلک شولز مدوله شده با fBm استفاده شود. علاوه بر این، دارایی غیر گاوسی و دارایی غیر ثابت در امور مالی را نمی توان به خوبی توسط مدل بلک شولز تعدیل شده با fBm توصیف کرد (به عنوان مثال، [23،24،25،26،27،28]). در نتیجه، چند فرآیند کسری کلی معرفی شده اند که حاوی همان ویژگی های fBm (نظم مسیرها، حافظه طولانی، خود شباهت) اما ویژگی های غیر ثابت و غیر گاوسی هستند، مانند فرآیند هرمیت و فرآیند روزنبلات.. در حالی که fBm به طور گسترده در امور مالی استفاده می شود، برخی از محققان بر روی فرآیندهای کسری دیگر تمرکز می کنند (به عنوان مثال، [6،28،29])، مانند فرآیند Hermite، یک فرآیند تصادفی خود مشابه با وابستگی دوربرد، که fBm یک ویژگی خاص است. مورد از. با این حال، به غیر از fBm، فرآیند Hermite غیر طبیعی است و می تواند از وضعیت دم چربی در کاربردهای عملی جان سالم به در ببرد. به همین دلیل است که فرآیندهای هرمیت به طور گسترده در امور مالی استفاده می شود (به عنوان مثال، [28]).

فرآیند هرمیت ارزش مطالعه دارد زیرا نمی تواند یک نیمه مارتینگیل باشد. این عمدتاً به این دلیل است که با پیروی از قضیه اصلی قیمت گذاری دارایی (به عنوان مثال، [13])، قیمت گذاری دارایی به صورت نیمه مارتینگال اجرا می شود. در این شرایط، دو سوال به طور طبیعی مطرح می شود: اول، اینکه آیا مدل بلک-اسکولز مبتنی بر فرآیند هرمیت فرصت های آربیتراژ را می پذیرد یا خیر؟دوم، نحوه ایجاد یک فرصت آربیتراژ در مدل هرمیت بلک-اسکولز در محیط دو جمله ای. اینها دقیقاً همان چیزی است که ما در این مقاله می کوشیم به آن پی ببریم. ما یک مدل بازار باینری را بر اساس فرآیند هرمیت ارائه می کنیم و فرصت های آربیتراژ را در این نوع مدل ارائه می کنیم.

برای این منظور، به دنبال خطوط [21،30]، ما یک مدل بازار باینری می سازیم که از پیاده روی های تصادفی در توپولوژی Skorokhod برای تقریب مدل Black-Scholes مدوله شده Hermite استفاده می کند. ما متوجه شدیم که این نوع مدل فرصت های آربیتراژ را می پذیرد. از این رو، به منظور ارائه یک مورد خاص از آربیتراژ مربوط به فرآیند هرمیت، ما یک مدل بازار دودویی را برای تقریب مدل هرمیت بلک شولز، که تصادفی بودن دارایی پرخطر از فرآیند هرمیت ناشی می شود، قرار می دهیم. کار بر روی بازارهای باینری به دلیل سادگی و انعطاف پذیری آنها برای تقریب سایر مدل های پیچیده تر سودآور است. برای ساخت یک مدل بازار باینری که توسط فرآیند Hermite هدایت می شود، از یک قضیه نوع Donsker برای تقریب فرآیند از طریق متغیرهای تصادفی I. I. D در توپولوژی Skorokhod استفاده می کنیم. خوشبختانه Ref.[31] دریافتند که برخی از پیاده روی های تصادفی مختل شده که از یک I. I. D. دنباله ای از متغیرهای تصادفی، می تواند فرآیند هرمیت را تقریبی کند. با استفاده از این روش تقریبی، ما یک مدل بازار دوتایی Hermite را با این فرض که پارامتر هرست بزرگ تر از یک نیمه است، ارائه می کنیم. ما ثابت می کنیم که فرصت های آربیتراژ در این مدل تقریبی "semimartingale" زنده می مانند و با گرفتن اطلاعات مسیر که از زمان صفر شروع می شود، یک فرصت آربیتراژ ایجاد می کنیم. علاوه بر این، نمونه های عددی را در مدل های دوجمله ای Hermite به عنوان تصویر نشان می دهیم و موضوع گزینه های قیمت گذاری در محیط فرآیند هندسی Hermite را مورد بحث قرار می دهیم. نتایج در این مقاله از نظر روحی به نتایج [21،30] نزدیک است، جایی که آربیتراژ در مدل بلک شولز بر اساس فرآیندهای fBm و روزنبلات به ترتیب مورد بررسی قرار می گیرد. با این وجود، تجزیه و تحلیل ما از مدل بلک شولز بر اساس فرآیند هرمیت نیازمند تلاش های مشابه اما متفاوت در مقایسه با [21،30] است.

بقیه این مقاله به شرح زیر سازماندهی شده است. بخش 2 برخی از خصوصیات اساسی فرآیند هرمیت و برخی حقایق قضیه تقریب را برای فرآیند هرمیت توصیف می کند. بخش 3 تعریف یک بازار باینری هرمیت را معرفی می کند ، که تقریب مدل سیاه و سیاه و سفید مدیت شده هرمیت است. علاوه بر این ، ما نشان می دهیم که فرصت های داوری در چنین مدلی زنده مانده است. بخش 4 چندین نمونه عددی را که توسط داده های شبیه سازی شده هدایت می شوند برای نشان دادن فرصت های داوری در مدل سیاه و سیاه و سفید مدیتله شده هرمیت نشان می دهد و در مورد سؤال در مورد گزینه های قیمت گذاری بحث می کند که فرایند هندسی هرمیت قیمت گذاری دارایی های اساسی را هدایت می کند. بخش 5 نتیجه گیری را ارائه می دهد.

2. فرآیند هرمیت به عنوان محدودیت یک پیاده روی تصادفی

در این بخش ، ابتدا چندین مفهوم اساسی از روند هرمیت را به یاد می آوریم. سپس ، با انگیزه [21،30] ، ما یک اصل عدم تغییر Donsker را برای روند هرمیت معرفی می کنیم. اکنون این تعریف را معرفی می کنیم و ویژگی های اساسی روند هرمیت را نشان می دهیم.

بگذارید (w t) t ∈ R یک فرآیند wiener باشد. فرآیند هرمیت x h k (t) t ≥ 0 از سفارش k و با شاخص خودآگاهی h ∈ 1 2 ، 1 به عنوان تعریف شده است

جایی که z + = حداکثر (z ، 0) ، c (h ، k) یک ثابت عادی است به طوری که e x h k (t) 2 = 1 و c 2 (h ، k) = β 1 2 - 1 - h k ، 2H - 2 K K K! ساعت (2 ساعت - 1) - 1. انتگرال فوق الذکر یک انتگرال چندگانه با سفارش K در مورد حرکت Brownian W است.

بدون شک ، پرکاربردترین فرآیند هرمیت FBM است که در (1) برای k = 1 تولید می کند. علاوه بر این ، این تنها روند هرمیتی گاوسی است. در واقع ، یک فرآیند هرمیت با سفارش دو به عنوان فرآیند روزنبلات شناخته می شود و X H K در صورت k ≥ 2 غیر گوزسی است. جدا از گاوسی ، فرآیندهای هرمیت با سفارش K ≥ 2 و FBM (همزمان با K = 1) دارای ویژگی های مشترک بسیاری هستند. در اینجا ، ما برخی از خصوصیات اساسی را ارائه می دهیم ، که می توان در فصل 3 [32] یافت.

این فرآیند وابستگی دوربرد را نشان می دهد (عملکرد کواریانس مانند عملکرد قدرت در صفر پوسیده می شود).

The process is H-self-similar under the circumstance that for any c>0 ، x h k (c t) = l a w c h x h k (t) ، که در آن = l a w نشان می دهد که کل توزیع های بعدی محدود معادل هستند.

The increments of the process is stationary, which means that the joint distribution of increments of the process, X H k ( t + h ) − X H k ( h ) , t ∈ [ 0 , T ] is independent with h>0 ؛

ویژگی های بیشتر فرآیند هرمیت را می توان در [32] یافت. این ویژگی های جالب باعث می شود فرآیند هرمیت به یک جایگزین بالقوه برای مدلهایی که حاوی خود شناعیت ، وابستگی دوربرد و غیر گائوزیایی و غیر استایل هستند ، تبدیل کند. بنابراین ، ارزشمند است که عمل روند هرمیت را در زمینه های مختلف در نظر بگیریم. بدیهی است ، یک سؤال برانگیز فکر هنگام استفاده از فرآیند هرمیت در امور مالی بوجود می آید: آیا مدل هرمیت تعدیل شده سیاه و سیاه و سفید فرصت های داوری را پذیرفته است؟اول ، ما یک مورد کلی از داوری مربوط به سیاهه های سیاه و سیاه و مدلی هرمیت ارائه می دهیم. پس از آن ، ما به طور خلاصه به روش تقریب دوتایی فرایند هرمیت با الهام از [21،30] نگاه می کنیم. برای طراحی مدل تقریب بازار باینری ، یک فرآیند هرمیت مبتنی بر قضیه دونسکر مورد نیاز است. این نتیجه برای حرکت کلاسیک براونیان به خوبی تثبیت شده و شهود غریزی را در مورد حرکت براون به عنوان حد I. I. D ایجاد می کند. متغیرهای تصادفی. علاوه بر این ، Ref.[21] دریافت که یک پیاده روی تصادفی "آشفته" می تواند FBM را تقریبی کند. مرجع.[30] فرایند Rosenblatt را با یک قضیه تقریب نوع Donsker ارائه داد. بر این اساس ، ممکن است انتظار داشته باشد که یک روش قابل مقایسه از فرآیند هرمیت نیز باید توسط I. I. D. تقریب شود. متغیرهای تصادفی. خوشبختانه ، Ref.[31] با استفاده از یک تفاوت مارتینگیل ، یک قضیه همگرایی ضعیف در روند هرمیت نشان داد.

به خوبی شناخته شده است که ، برای K = 1 و H ∈ (1 2 ، 1) ، فرایند داده شده توسط (1) چیز دیگری نیست جز FBM ، که مطابق با فرمول هسته زیر است که شامل حرکت استاندارد براون است

x H 2 (t) = l a w d (h) ∫ 0 t ∫ 0 t ∫ y 1 ∨ y 2 t ∂ k h ′ ∂ u u ، y 1 ∂ k h ′ ∂ u u ، y 2 d u d w y 1 d w y 2 ،

جایی که W T ، T ∈ [0 ، t] یک حرکت براونی یک بعدی است. انتگرال در اینجا یک انتگرال دوتایی در مورد W به عنوان D (H) = 1 H + 1 H 2 (2 H - 1) - 1 2 ، H ′ = H + 1 2 و

پس از الهام بخش [21،30] ، روند هرمیت را می توان با توجه به فرآیند وینر در یک بازه زمانی محدود هنگام استفاده از هسته K H که توسط (4) هدایت می شود ، به عنوان یک انتگرال چندگانه توصیف کرد. بگذارید h ∈ 1 2 ، 1 ، برای k ≥ 1 ، ما داریم

X H K (T) = D (H) ∫ 0 T ⋯ ∫ 0 T D W Y 1 ⋯ D W y K × ∫ y 1 ∨ ∨ y k t ∂ 1 k h ′ u ، y 1 ⋯ 1 k h ′ u ، y k d u ، t∈ [0 ، 1] ،

بگذارید برخی از حقایق قابل توجه را که برای تجزیه و تحلیل اساسی ما مهم هستند ، به یاد بیاوریم. با توجه به یک سری متغیرهای تصادفی i. i. d<ξ i>i ∈ N با E ξ i = 0 و E ξ i 2 = 1 . اصل عدم تغییر Donsker بیان می کند که توالی فرآیندها

به طور ضعیفی به یک حرکت براونی استاندارد در توپولوژی Skorokhod همگرا می شود، جایی که ⌊ x ⌋ بزرگترین عدد صحیح را تعریف می کند که از x تجاوز نمی کند. فکر استفاده از W t N در قیمت گذاری گزینه توسط [33] معرفی شد و توسط [34،35] گسترش یافت.

K H t , s = 2 H Γ ( 3 2 − H ) Γ ( H + 1 2 ) Γ ( 2 − 2 H ) H − 1 2 s 1 2 − H ∫ s t u − s H − 3 2 u H − 1 2د تو .

X H 1 , n (t ) = ∫ 0 t K n ( t , s ) d W s n = ∑ i = 1 ⌊ n t ⌋ n ∫ i − 1 n i n K H ( ⌊ n t ⌋ n , s ξ n )1 .

The work of [21] confirms that the disturbed random walk X H 1 , n ( t ) converges weakly to the fBm with H> 1 2 . Moreover, for k = 2 and H>1 2،30] بیان می کند که راه رفتن تصادفی مختل X H 2، n (t) به طور ضعیفی به فرآیند روزنبلات همگرا می شود، جایی که

X H 2 , n ( t ) = ∑ i , j = 1 ; i ≠ j [ n t ] n 2 ∫ i − 1 n i n ∫ j − 1 n j n F [ n t ] n , u , v d v d u ξ i n ξ j n , t ∈ [ 0 , T ] y , F =d ,( H ) 1 [ 0 , t ] y 1 1 [ 0 , t ] y 2 ∫ y 1 ∨ y 2 t ∂ K H ' ∂ u u , y 1 ∂ K H ∂ u u , y 2 d u .

اکنون، ما یک اصل تغییر ناپذیری Donsker را برای فرآیند Hermite اعمال می کنیم. پس از آن، فرآیند هرمیت را که با فرمول (6) ارائه می شود، در نظر می گیریم. برای هر t ∈ [ 0 , T ] را نشان می دهیم

F t , y 1 , y 2 ⋯ , y k = d ( H ) 1 [ 0 , t ] y 1 1 [ 0 , t ] y 2 ⋯ 1 [ 0 , t ] y k ∫ y 1 ∨ y ∂ y ⋯ tK H '∂ u u، y 1 ∂ K H ' ∂ u u، y 2 ⋯ ∂ K H ' ∂ u u، y k d u،

که در آن 1 ( 0 , t ) ( s ) یک تابع نشانگر برابر با یک if s ∈ ( 0 , t ) و در غیر این صورت صفر است.

از نتایج نمایش (9) و fBm، برای t∈ [0، T]، ما نمایشی برای فرآیند هرمیت داریم.

X t k , n = ∑ η 1 , η 2 , ⋯ , η k = 1 ; η i ≠ η j برای i ≠ j [ n t ] n k ∫ η 1 − 1 n η 1 n ∫ η 2 − 1 n η 2 n ⋯ ∫ η k − 1 n η k n F [ n t ] n , s 12 , ⋯ , s k d s 1 d s 2 ⋯ d s k ξ 1 n ξ 2 n ⋯ ξ k n .

قبل از ادامه نمایش مدل باینری برای مدل بلک شولز مدوله شده هرمیت، با اشاره به ایده [31]، یک گزاره را بیان می کنیم که در بخش بعدی به کار می رود.

همانطور که می بینیم، متغیرهای تصادفی ( ξ i ؛ i ≥ 1 ) باینری هستند با P ( ξ i = 1 ) = P ( ξ i = - 1 ) = 1 2 برای هر i ≥ 1 . در نتیجه، X t k , n فقط می تواند دو مقدار بگیرد زیرا حاصل ضرب X t k , n

با توجه به (10) و (11) می بینیم که X t k , n که تقریبی از فرآیند هرمیت است نیز یک فرآیند باینری است. به لطف این تقریب، می توانیم فرصت های آربیتراژ را در مدل هرمیت بلک-اسکولز به دنبال ایده [21،30] مورد بحث قرار دهیم.

The random walk X t k , n (defined by (10)) converges weakly to the Hermite process X t k (obtained from (9)) as the Hurst parameter H>1 2 در فضای اسکوروخود با n به بی نهایت می رود.

این اثبات شامل اثبات این است که توزیع های بعدی بعدی X T K ، N به موارد X T K همگرا می شوند و همچنین نشان می دهد که X T K ، N محکم است ، که می توان در [31] یافت و از این رو در اینجا حذف شده است.□

توجه به این نکته ضروری است که جایگزینی X T K توسط X T K ، N مطابق با ویژگی های مهم فرآیند اصلی است. بنابراین ، x t k ، n وابسته به برد طولانی است و توزیع آن به صورت مجانبی از خود شبیه است.

3. بازار باینری مدل هرمیت سیاه و سفید

در موارد کلاسیک (یعنی آن مدل های بازار مبتنی بر یک حرکت براون) ، از مدل باینری برای تقریب مدل قابل توجه سیاه و سفید استفاده می شود ، همانطور که در [33] نشان داده شده است. در این بخش ، با الهام از ایده [21،30] ، می یابیم که مدل باینری بر اساس (10) همچنین قادر به تقریب مدل سیاه و سیاه و سفید و مدلی هرمیت است.

در مرحله اول ، ما روی دو دارایی مالی تمرکز می کنیم که به طور مداوم در دوره زمانی [0 ، t] معامله می شوند ، جایی که 0 روز فعلی و روز ترمینال T ثابت است. بگذارید یک دارایی بدون ریسک نشان داده شده توسط B معادله دینامیک زیر را برآورده کند

where X t k is a Hermite process with H> 1 2 , σ>0 ثابت است و A یک عملکرد قطعی متفاوت است. انتگرال در مورد x t k از منظر مسیر درک می شود. با توجه به فرآیند هرمیت ، هولدر مداوم سفارش Δ است1 2 ، ما می توانیم انتگرال های مسیر را در ارتباط با فرآیند هرمیت تعریف کنیم و فرمول تصادفی (13) را به معنای مسیر حل کنیم. جزئیات بیشتر را می توان در [36] یافت. در نتیجه ، مشابه تلاش [36] ، ما انتگرال تصادفی را در (13) به عنوان ریما ن-استیلتس اتخاذ می کنیم ، سپس بر اساس تغییر فرمول متغیر ، نتیجه (13) می تواند به عنوان نوشته شود

در بقیه مطالعه ، ما فرض می کنیم که هر دو رانش امنیت A T و نرخ بهره R T توابع محدودی تعیین کننده هستند.

به دنبال [21،30] ، ما بر روی یک بازار باینری خاص ، یک بازار باینری هرمیت N- دوره ای تمرکز می کنیم ، که تقریب مدل سیاه و سیاه و سفید مدوله شده هرمیت از (13) است. در بازار باینری ، فرض می کنیم که بازاری که در آن دو اوراق بهادار (سهام S و یک اوراق بهادار B) طی دوره های زمانی مداوم معامله می شوند 0 = T 0

با n ≥ 1. برای هر n ∈<0 , 1 , … , N − 1>، B N و S N به ترتیب مقادیر اوراق و سهام را در فاصله بین T N و T N + 1 نشان می دهد. به همین ترتیب ، R و N به ترتیب نرخ بهره و رانش سهام را نشان می دهد. فرآیند تصادفی سازگار z = (z n) n = 0 n باینری است. بنابراین ، به دنبال ایده [30] ، با توجه به z 1 ،… ، z n - 1 ، در زمان n ، می تواند دو مقدار ممکن تعریف شده توسط d n ("پایین") و u n ("up") را با d n بدست آوردn - 1 (در اینجا U 1 و D 1 ثابت هستند).

از گزاره 3. 6. 2 در [37] و با استفاده از آرگومان های مشابه مانند [21،30] ، می بینیم که یک بازار باینری امکانات داوری را از بین می برد تا برای همه n ∈<1 , … , N>,

با استفاده از گزاره 3. 6. 2 از [37] ، می توانیم ببینیم که یک بازار باینری فرصت های داوری را در صورتی و فقط اگر برای همه n = 1 ،… ، n ، شرط d n حذف کند

ما نسخه "K" را در x t k ، n و x t n و بدون هیچ گونه سردرگمی حذف خواهیم کرد. سپس ، فرآیند تصادفی Z در (17) توسط تعریف می شود

جایی که A و R توابع ارائه شده در (12) و (13) به ترتیب هستند. با توجه به انتخاب مناسب دنباله (ξ N) n ∈ N و مقدار اولیه x 1 n n ، منصفانه است که بگوییم این مدل واقعاً یک مدل باینری است. علاوه بر این ، با انگیزه [21،30] ، ما می توانیم ثابت کنیم که این مدل در شرایط بعدی مدل سیاه و سیاه و سفید مدوله شده هرمیت را تقریب می دهد. اگرچه اثبات مشابهی نیز در [21،30] یافت می شود ، به دلیل کامل بودن مطالعه ما ، مشتقات مختصر در اینجا به نمایش گذاشته می شود.

مدل بازار باینری با Z ، A و R داده شده توسط (16) و (17) به مدل سیاه و سیاه و سفید بر اساس فرآیند هرمیت داده شده توسط (12) و (13) به عنوان N → ∞ همگرا می شود.

سپس ، ما ارائه می دهیم که فرآیند [x N] در L 1 ([0 ، t] × ω) به صفر همگرا می شود که در آن L 1 هنجار L 1 را نشان می دهد. از آنجا که پرش ها در زمان k n هستند ، ما داریم

which tends to zero as N tends to infinity, where H>1 2 و C (t) بسته به t ثابت نشان می دهد.

تظاهرات زیر شبیه اثبات قضیه 3 در [21] است. با این حال ، نتیجه ما کمی متفاوت از نتیجه در [21] است ، بنابراین ما مشتقات مختصر را در اینجا ارائه می دهیم. توسط (17) نشان دادن آن کافی است

که ضعیف به "فرآیند هندسی هرمیت" S 0 N E X همگرا می شود. ما فرآیند x h ، n را به دو قسمت x t 1 ، n = ∑ s ≤ t Δ x h 1 تقسیم می کنیم<Δ X s N <1 2>و x t 2 ، n = ∑ s ≤ t Δ x n 1<Δ X s N ≥ 1 2>وادبه این ترتیب ، ما داریم

جایی که s t i ، n = ∏ s ≤ t (1 + Δ x s i ، n) (i = 1 ، 2). شبیه به اثبات قضیه 3 در [21] ، ما به راحتی می توانیم بدست آوریم که S 1 ، N ضعف را به E X همگرا می کند در حالی که S 2 ، n به احتمال زیاد به یک نفر می رود.□

علاوه بر این ، ما نشان می دهیم که بازار باینری مبتنی بر (16) و (17) عاری از داوری نیست. به طور خاص ، با استفاده از [21،30] ، با استفاده از (10) و (19) ، برای هر n ≥ 2 ما

z n = σ n k ∑ η 1 ، η 2 ، ⋯ ، η k = 1 ؛η i ≠ η j برای i ≠ j n (∫ η 1 - 1 n η 1 n ∫ η η 2 - 1 n η 2 n ⋯ ∫ η η η η η η η 1 n η k n (f n n ، s 1 ، s 2 ، ⋯، s k - f n - 1 n ، s 1 ، s 2 ، ⋯ ، s k) d s 1 d s 2 ⋯ d s k) ξ 1 ξ 2 ⋯ ξ k.

f n - 1 (x 1 ،… ، x n - 1) = σ n k ∑ η 1 ، η 2 ، ⋯ ، η k = 1 ؛η i ≠ η j برای i ≠ j n - 1 (∫ η 1 - 1 n η 1 n ∫ η η 2 - 1 n η 2 n ⋯ ∫ η η k - 1 n η k n f n ، s 1 ، s 2 ، ⋯، s k - f n - 1 n ، s 1 ، s 2 ، ⋯ ، s k d s 1 d s 2 ⋯ d s k) x 1 x 2 ⋯ x k ،

g n - 1 (x 1 ،… ، x n - 1) = 2 σ n k ∑ i = 1 n - 1 (∫ i - 1 n i n ∫ n n n - 1 n ⋯ ∫ n n n - 1 n f n n n - 1 n f n n n n - 1 n f n n n n - 1 n f n n n -، S 1 ، S 2 ، ⋯ ، S K D S 1 D S 2 ⋯ D S K) X I.

در طول این تظاهرات ، بیشتر تخمین ها شامل ثابت های نامشخص هستند. برای داشتن یک علامت مشخص ، بگذارید C (H) یک ثابت عمومی باشد که مقدار آن فقط توسط H تعیین می شود و از نظر ظاهری متفاوت است. سپس می فهمیم که شرط (18) برای برخی از n ≥ 2 نامعتبر است. به ویژه ، با تقارن ما

f n - 1 (1 ، 1 ،… ، 1) = σ n k ∑ η 1 ، η 2 ، ⋯ ، η k = 1 n - 1 (∫ η 1 - 1 n η 1 n ∫ η η 2 - 1 n η 2n ⋯ ∫ η k - 1 n η k n f n ، s 1 ، s 2 ، ⋯ ، s k - f n - 1 n ، s 1 ، s 2 ، ⋯ ، s k d s 1 d s 2 ⋯ d s k) x 1 x 2 ⋯x k - σ n k ∑ η i = 1 n - 1 (∫ η i - 1 n η i n ∫ η i - 1 n η i n ⋯ η η i - 1 n η i n f n ، s 1 ، s 2، ⋯ ، s k - f n - 1 n ، s 1 ، s 2 ، ⋯ ، s k d s 1 d s 2 ⋯ d s k) x 1 x 2 ⋯ x k: = σ n k a - b.

a = c h (∫ 0 η 1 n ∫ 0 η 2 n ⋯ ∫ 0 η k n · ∫ n - 1 n n n (a - s 1) h ′ - 3 2 (a - s 2) h ′ - 3 2… (A - S K) H ′ - 3 2 A K H ′ - K 2 S 1 1 2 - H ′ S 2 1 2 - H ′ ... S K 1 2 - H ′ D A · D S 1 D S 2 ⋯ D S K) ≥ C H N- 1 N K 2 - K H ′ (∫ 0 η 1 N ∫ 0 η 2 N ⋯ ∫ 0 η K N · ∫ N - 1 N N N (A - S 1) H ′ - 3 2 (A - S 2) H ′ - 3 2… (a - s k) h ′ - 3 2 a k h ′ - k 2 d a · d s 1 d s 2 ⋯ d s k) ≥ c h n - 1 n k 2 - k h ′ ∫ n - 1 n n a h ′ - 1 2 - a - n - 1 n h ′ - 1 2 k a k h ′ - k 2 d a ≥ c h n - 1 n k 2 - k h ′ n - 1 n n n (n - 1) h′ - 1 2 - 1 N H ′ - 1 2 K A K H ′ - K 2 D A = C H N K H ′ - K 2 + 1 O (N K H ′ - K 2).

B = C H ∑ H I = 1 N - 1 ∫ H I - 1 N H I N ∫ H I - 1 N H I N ⋯ H I - 1 N H I N ∫ N - 1 N N N (A - S 1) H ′ - 3 2 (a - s 2) H ′ - 3 2… (a - s k) h ′ - 3 2 a k h ′ - k 2 s 1 1 2 - h ′ s 2 1 2 - h ′ ... s k 1 2 - h ′ d a · d s 1 d s 2 ⋯ d s k ≤ c h n n k h ′ - k 2 ∑ i = 1 n - 1 ∫ h i - 1 n h i n ∫ h i - 1 n h n ⋯ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ i - 1 n h i n ∫ ∫ ∫ n n - 1 n n n n n (a - n n) k h ′ - 3 k 2 s 1 1 2 - h ′ s 2 1 2 - h ′ ... s k 1 2 - h ′ d a · d s 1 d s 2 ⋯ d s k ≤ c h n n k h ′ - k 2 ∑ i = 1 n - 1 ∫ h i - 1 n h i n ∫ h i - 1 n h i n ⋯ ⋯ h i - 1 n h i n s 1 1 2 - h ′ s 2 1 2 - h ′ ... s k 1 2 - H ′ × (N - I) K H ′ - 3 K 2 + 1 - (N - (I - 1)) K H ′ - 3 K 2 + 1 N K H ′ - 3 K 2 + 1 D S 1 D S 2 ⋯ D S K ≤ C H N N K H ′ - K 2 ∑ H I = 1 N - 1 I N 3 2 - H ′ - I - 1 N 3 2 - H ′ K × (N - I) K H ′ - 3 K 2 + 1 - (N - (I - 1) K H ′ - 3 K 2 + 1 N K H ′ - 3 K 2 + 1 ≤ C H N N K H ′ - K 2 1 N 3 K 2 - K H ′ N N K H ′ - 3 K 2 + 1 ≤ C H 1 N K H ′ - K 2 + 1 O (n 2 K H ′ - 2 K + 1).

g n - 1 (1 ، 1 ، ... ، 1) ≤ 2 σ n k ∑ i = 1 n - 1 ∫ i - 1 n i n ∫ n n - 1 n ⋯ ∫ n n n - 1 n n n n ، s 1 ، s 2 ، ⋯ ، ⋯ S K D S 1 D S 2 ⋯ D S K ≤ 2 S N K C H N N K H ′ - K 2 ∑ I = 1 N - 1 ∫ I - 1 N I N ∫ N N - 1 N ⋯ N N N - 1 N ∫ S K N N S 1 2 - H ′ S 2 1 2 - H ′… S K 1 2 - H ′ N - 1 N - S 1 H ′ - 3 2 (A - S 2) H ′ - 3 2 (A - S 3) H ′ - 3 2… (A - S K) H ′ - 3 2 d a · d s 1 d s 2 ⋯ d s k ≤ 2 s n k c h n k h - k 2 n - 1 n k - 1 2 - k - 1 h ′ ∑ i = 1 n - 1 ∫ i - 1 n i n ∫ n n - 1 n ⋯ ⋯ n n n - 1 n S 1 1 2 - H ′ N - 1 N - S 1 H ′ - 3 2 N N N - S 2 H ′ - 1 2 N - S 3 H ′ - 1 2… N N - S K H ′ - 1 2 D S S 1 D S 2 ⋯ D S K ≤ 2 δ N K C H N N K H ′ - K 2 N - 1 N K - 1 2 - K - 1 H ′ 1 N K - 1 2 + K - 1 H ′ ∫ 0 N - 1 N S 1 1 2 - H ′ N - 1 N - S 1 H ′ - 3 2 D S 1 ≤ 2 ° N K C H 1 N K H ′ + K - 2 2 O (N H ′ - 1/2).

Consistent with the fBm case ([21]) and the Rosenblatt process case ([30]), the analogous binary models also admit arbitrage opportunities when H>1 2

همانطور که در این بخش می بینیم ، بازار سیاه و سفید که توسط روند خالص هرمیت هدایت می شود ، ممکن است فرصت های داوری را در شرایط زمان گسسته بپذیرد. با این حال ، این بدان معنا نیست که ما کاربرد روند هرمیت در امور مالی را رد می کنیم. در حقیقت ، چندین روش برای استثناء داوری در فرآیند هرمیت قابل استفاده است. به عنوان مثال ، عدم وجود فرصت های داوری ممکن است با در نظر گرفتن ویژگی های معاملات در یک بازار واقعی (به [38،39] مراجعه کنید) ، اصلاح روند تصادفی قیمت سهام برای به دست آوردن یک semimartingale [40] ،جایگزینی هسته وزنه برداری از بازنمایی انتگرال فرآیند هرمیت با یک مورد مرتبط [19] ، با استفاده از مدل کسری برای توصیف نوسانات [41،42،43،44،45،46] یا نرخ بهره [47،48 ،49،50] و غیره.

جالب است بدانید که در مورد فرآیند هرمیت چه اتفاقی می افتد وقتی که ترتیب خود شناعیت H به 1 2 و k = 1 تمایل دارد. ما می توانیم انتظار داشته باشیم که در هنگام حرکت H = 1 2 مانند حرکات استاندارد Brownian Nobitrage نداشته باشد زیرا اکنون فرآیند هرمیت در H = 1 2 و K = 1 به یک مارتینگال می رسد.

لازم به ذکر است که مقاله ما نتیجه [21] را با k = 1 و [30] با k = 2 گسترش می دهد. بنابراین ، مقاله ما یک روش کلی برای تشخیص داوری مالی برای هر فرآیند تصادفی ، که نمایندگی آن با توجه به فرآیندهای وینر در یک بازه محدود است ، یکپارچه است.

4- تجزیه و تحلیل شبیه سازی

در این بخش چندین مورد عددی برای نشان دادن نقض استفاده از مدل سیاه و سیاه و سفید و مدوله شده هرمیت گزارش شده است. اول ، ما در مورد فرصت های داوری در مدل سیاه و سیاه و سفید بر اساس فرآیند هرمیت بحث می کنیم. سپس ، ما در مورد گزینه های قیمت گذاری در مدل سیاه و سفید مدوله شده هرمیت ، مسئله را برطرف می کنیم.

اکنون ، ما در مورد نقض این فرض بحث می کنیم که فرصت های داوری نمی تواند در مدل سیاه و سیاه و سفید مدوله شده هرمیت زنده بماند. تحت این شرایط ، ما داده های یک فرآیند هرمیت را با استفاده از تقریب داده شده توسط (10) ، با (ξ n) n ∈ N یک سری از i. i. d شبیه سازی کردیم. متغیرهای تصادفی باینری برای مقادیر مختلف H. سپس ، فرمول (19) دستیابی به ما را آسان کرد (21) ، که به فرایند هندسی هرمیت ضعیف همگرا می شود. بگذارید ξ 1 ، ξ 2… ، ξ k مقادیر را بگیرد<− 1 , 1>در (10). اکنون، می توانیم آربیتراژ را در بازارهای باینری هرمیت، که با (16) و (17) نشان داده می شوند، با یک سری مدل های دودویی که مدل بلک شولز مدوله شده هرمیت را تقریب می کنند، تحلیل کنیم. شکل 1، شکل 2، شکل 3 و شکل 4 برخی از درختان دوجمله ای ایجاد شده توسط پیاده روی تصادفی توصیف شده را با n = 10000، t = 4 و S 0 4 = 1 برای مقادیر مختلف پارامتر هرست H و k ترسیم می کنند.

شایان ذکر است که برای H = 1 2 , k = 1 و حالت حرکت براونی استاندارد، درخت دوجمله ای بسیار نوترکیب را به دست می آوریم. این عمدتاً به این دلیل است که برای یک حرکت براونی کلاسیک، می توانیم آن را با افزایش مقدار متغیرهای تصادفی توزیع شده یکسان و مستقل تقریب کنیم. با این حال، بر اساس شکل 1، شکل 2، شکل 3 و شکل 4، نمی توانیم درخت نوترکیب را در بازارهای باینری هرمیت به دست آوریم، زمانی که فرآیند هرمیت به گذشته ای بی نهایت مربوط می شود. بنابراین، برای هر زمان t، میانگین متحرک آگاهی تاریخی باید کاملاً بر اساس وزن کل تاریخ مجدداً برآورد شود. در نتیجه، یک مدلسازی متقارن مستقل ناقص است (لطفاً به [20] برای بحث مشابه در مورد fBm مراجعه کنید). همانطور که از شکل 1، شکل 2، شکل 3 و شکل 4 می بینیم، چهار درخت دیگر در حال ترکیب مجدد نیستند و شاخه های بیرونی دیگر خطوط ثابت و مسیر متقارن نیستند. نتایج مشابهی قبلاً در بازار باینری کسری به دست آمده بود (به عنوان مثال، [18،20]). بدین ترتیب، پاکت های شکل 1، شکل 2، شکل 3 و شکل 4 شکل محدب طبیعت را نشان می دهند. دلیل اصلی این امر به دلیل وقوع تداوم است. در این صورت مسیر انتخاب شده را اجرا می کند و انحراف از میانگین را تشدید می کند. علاوه بر این، گره های پایانه اصلاً از هم فاصله ندارند.

حال ، اجازه دهید نگاهی دقیق تر به شکل 1 ، شکل 2 ، شکل 3 و شکل 4 بپردازیم. در مرحله چهارم هر رقم ، فرصت های داوری وجود دارد. بنابراین ، در ارتباط با گره ها قبل از آخر ، نشان می دهد که - با گره بالایی - هر دو شاخه های نزولی به نظر می رسد به سمت بالا. این بدان معناست که به دلیل عدم وجود نرخ ریسک ، یک استراتژی خرید و نگهدارنده یک مرحله ای همیشه بازده و بازده بدون ریسک را به دست می آورد. به عنوان مثال ، در صورت رسیدن قیمت به 1. 1851 ، می توان پول را برای خرید دارایی ریسک وام گرفت تا سود بدون ریسک ایجاد کند (شکل 1 را ببینید). شاید شایان ذکر باشد که نمایندگی یک فرصت داوری دلالت بر درآمد بالقوه قابل توجهی دارد. با این حال ، این می تواند کاملاً فریبنده باشد ، زیرا "فرصت" داوری می تواند فرصتی علیه سرمایه گذاران باشد. به عبارت دیگر ، یک فرصت داوری برای یک سرمایه گذار ممکن است خطری باشد که یک سرمایه گذار دیگر نتواند از آن حمایت کند. شکل 1 ، شکل 2 ، شکل 3 و شکل 4 این را به وضوح نشان می دهد ، جایی که سرمایه گذاران دارایی های 0. 8343 را دارند (شکل 1 را ببینید) ، در 0. 8495 (شکل 2 را ببینید) ، در 0. 8666 (شکل 3 را ببینید) و در 0. 8866 (شکل 4 را ببینید)، با ضررهای خاصی روبرو شوید و باید بفروشد. علاوه بر این ، با استفاده از یک استدلال مشابه در بالا ، می توانیم به این نتیجه برسیم که در هر نقطه از درختان باینری در شکل 1 ، شکل 2 ، شکل 3 و شکل 4 ، فقط با بالا رفتن یا پایین آمدن زمان کافی می توانیم به نقطه داوری برسیم. در نتیجه ، ما به این نتیجه می رسیم که احتمال داوری در بازارهای باینری هرمیت وجود دارد.

Lastly, we handle the issue about pricing options in the Hermite modulated Black Scholes environment. Obviously, we caot directly use the binomial trees shown in Figure 1, Figure 2, Figure 3 and Figure 4 to price options due to the absence of a martingale measure. However, when the set of permissible strategies is limited, arbitrage can be eliminated by prohibiting the trading strategies with arbitrage profits. Hence, the pricing formula of the Black Scholes European options under the continuous-time model with the Hermite process driving noise is given. We do not discuss it further here, since the work has been done by [28] in continuous-time models. In fact, when one uses the Hermite modulated Black Scholes model to price options, the information of the underlying asset is not simply transferred by volatility and spot price—as in the standard Black Scholes framework—but rather in a more complex way. Moreover, we can see form [28] that when the driving noise is the Hermite process, the price of an option with maturity T relies on T − t as well as the value of t . In the Black Scholes market, where an investor observes the market at time t 1 and an investor enters it at time t 2>T 1 ، فقط با نوسانات σ (احتمالاً با برآورد مقدار ضمنی یا مقادیر تحقق یافته آن) سازگار باشید تا گزینه ها به همان روش در زمان T ≥ T 2 قیمت گذاری شوند. در محیط سیاه و سیاه و سفید مدوله شده هرمیت ، فقط در نظر گرفتن مقدار ضریب σ در معادله کافی نیست (13). به منظور جایگزینی اولین عملکرد قیمت گذاری گزینه سرمایه گذار ، سرمایه گذار دوم - در شرایط بازار هرمیت - باید به ارزش T 1 نیز اعتماد کند. این غیرمعمول است اما انتظار می رود ، زیرا بازار هرمیت (به جز در زمان خاص H = 1 2) استقلال افزایش را رد می کند. ما انتظار داریم که اکتشافات ما چشم انداز جدیدی را برای رعایت داوری در یک بازار باینری ارائه دهد.

5. نتیجه گیری ها

مدل تصادفی سنتی که برای ضبط نوسانات در بازارهای مالی استفاده می شود ، فرایند مارکوف است. با این حال ، بحران مالی در حال انجام نشان داده است که بیشتر مدل های مارکوف مورد استفاده برخی از خواص داده های مالی مشاهده شده متناسب نیستند. یکی از دلایل ممکن است این باشد که مدل های مارکوف نتوانند وابستگی دوربرد را که توسط بازده دارایی های مالی به نمایش گذاشته می شود ، ضبط کنند. بر اساس وجود وابستگی دوربرد و غیر مجری ، محققان فرآیندهای تصادفی بسیاری را با وابستگی دوربرد در حوزه مالی معرفی کرده اند. FBM بسیار مهمترین فرآیند با وابستگی دوربرد در یک دوره مداوم با پارامتر Hurst H ∈ (1 2 ، 1) است. به طور خاص ، FBM به طور گسترده در اقتصاد مالی استفاده می شود. با این حال ، برخی از تحقیقات نشان می دهد که فرصت های داوری در بازار سیاه و سیاه و سفید محور FBM وجود دارد. امکانات مشابه داوری را نیز می توان در بازار سیاه و شیک ها بر اساس فرآیند Rosenblatt یافت. در این حالت ، بسیاری از نویسندگان برخی از فرآیندهای تصادفی جدید را با وابستگی دوربرد ، مانند فرآیندهای هرمیت ، BI-FBM ، Sub-FBM ، وزنی FBM و غیره پیشنهاد داده اند.

In this paper, we introduced the approximation of the Hermite process driven by a series of I.I.D random variables in Skorokhod topology and discussed arbitrage opportunities in the Hermite binomial model. For illustrating the arbitrage opportunities in the Hermite binomial model, we also provided some numerical examples. Our results showed that there were arbitrage opportunities for the binary approximation of the Hermite modulated Black Scholes model when H ∈ ( 1 2 , 1 ) , which is attributable to the long-range dependence in the Hermite process as H>1 2با الهام از ، اگر قیمت امنیت به اندازه کافی تمایل به افزایش داشته باشد ، مدتی ادامه خواهد یافت. این نتیجه نشان می دهد که هیچ روش قیمت گذاری داوری را نمی توان به طور منطقی در مدل بازار هرمیت استفاده کرد. چنین فرصت های داوری در یک دوره گسسته مانع استفاده از فرآیندهای هرمیت به عنوان الگویی در امور مالی نمی شود. این که آیا فرصت های داوری در زمان مداوم وجود دارد یا خیر ، به تفسیر استراتژی های تجاری مجاز ، دقیقاً مانند هزینه های معامله یا اطلاعات گران قیمت متکی است. بنابراین ، تعیین محدودیت های مناسب در استراتژی های معاملاتی ، یک نرخ بهره قابل پیش بینی منطقی و معرفی یک مدل به اصطلاح مختلط می تواند مدل هرمیت را با یک چارچوب بدون داوری گنجانده باشد.

علاوه بر این، این مقاله دیدگاه های مختلفی را برای تحقیقات آتی معرفی می کند. در مرحله اول، می توانیم تقریب های bi-fBm، sub-fBm، fBm وزن دار یا یک ورق براونی کسری را بر اساس پیاده روی های تصادفی ارائه کنیم و وجود احتمالات آربیتراژ را در مدل های دوجمله ای اثبات کنیم. این بحث ها محتوای گسترده و جذابی از کار در مورد قیمت گذاری مشتقات در شرایط وابستگی طولانی مدت ارائه می دهد. پیشنهاد دوم برای تحقیقات آینده این است که تئوری یکپارچه سازی مسیری یا L2 را در چارچوب پیوسته متناظر به کار ببریم و از فرآیندهای وابستگی دوربرد به غیر از fBm برای به دست آوردن مدل های قیمت گذاری مشتقات استفاده کنیم. ثالثاً، می توانیم اثبات کنیم که در هر گره از درخت دوجمله ای هرمیت، می توان به یک نقطه آربیتراژ رسید، فقط با ردیابی بالا یا پایین برای مدت زمان کافی. همچنین می توانیم نشان دهیم که وقتی H نزدیک یک است، احتمال اینکه مسیری در درخت باینری از بی نهایت نقاط آربیتراژ عبور کند، یک است. این بدان معناست که در محدوده، تعداد نامحدودی از نقاط آربیتراژ وجود دارد. به همین دلیل است که وقتی H بزرگ است درختان دوجمله ای هرمیت را ارائه می کنیم. علاوه بر این، ما می توانیم توصیف متفاوتی از استراتژی معاملاتی مجاز برای جلوگیری از حضور استراتژی های آربیتراژ پیشنهاد کنیم و ممکن است بینش هایی را برای بررسی استحکام نتایج در این مقاله ارائه دهیم.