راهنمای دانشمند و مهندس پردازش سیگنال دیجیتال توسط استیون دبلیو اسمیت ، دکتری.

فصل 10. PDF

فهرست مطالب

چگونه کپی گالینگور خود را سفارش دهیم

آیا ترجیح نمی دهید به جای 640 صفحه شل ، یک کتاب محدود داشته باشید؟چاپگر لیزر شما از شما متشکرم! سفارش از Amazon.com.

فصل 10: ویژگی های تبدیل فوریه

به شکل ریاضی: اگر x [n] ↔ magx [f] & phasex [f] ، سپس تغییر در دامنه زمان منجر به: x [n + s] ↔ magx [f] & phasex [f] + 2π sf (جایی که F به عنوان کسری از نرخ نمونه برداری بیان می شود ، بین 0 تا 0. 5 کار می کند). در کلمات ، تغییر نمونه S در دامنه زمان ، بزرگی را بدون تغییر می گذارد ، اما یک اصطلاح خطی را به فاز ، 2π SF اضافه می کند. بیایید نمونه ای از نحوه عملکرد این کار را بررسی کنیم.

شکل 10-3 نشان می دهد که وقتی شکل موج دامنه زمان به سمت چپ یا راست منتقل می شود ، فاز چگونه تحت تأثیر قرار می گیرد. بزرگی در این تصویر گنجانده نشده است زیرا جالب نیست ؛با تغییر دامنه زمان تغییر نمی کند. در انجیر(الف) از طریق (د) ، شکل موج به تدریج از داشتن اوج متمرکز بر نمونه 128 منتقل می شود ، تا آن را بر روی نمونه 0 قرار دهد. این دنباله نمودارها در نظر می گیرد که DFT دامنه زمان را به صورت دایره ای مشاهده می کند. هنگامی که بخش هایی از شکل موج از سمت راست خارج می شوند ، در سمت چپ دوباره ظاهر می شوند.

شکل موج دامنه زمان در شکل 10-3 در اطراف یک محور عمودی متقارن است ، یعنی طرف های چپ و راست تصاویر آینه ای از یکدیگر هستند. همانطور که در فصل 7 ذکر شد ، سیگنال هایی با این نوع تقارن فاز خطی نامیده می شوند ، زیرا فاز طیف فرکانس آنها یک خط مستقیم است. به همین ترتیب ، سیگنالهایی که این تقارن سمت چپ را ندارند ، فاز غیرخطی نامیده می شوند و فاز هایی دارند که چیزی غیر از یک خط مستقیم است. ارقام (ه) از طریق (ساعت) فاز سیگنال ها را در (a) از طریق (d) نشان می دهد. همانطور که در فصل 7 توضیح داده شده است ، این سیگنال های فاز بدون استفاده ، به آنها امکان می دهد بدون ناپیوستگی های مرتبط با حفظ مقدار بین π و-π ظاهر شوند.

هنگامی که شکل موج دامنه زمان به سمت راست منتقل می شود ، فاز یک خط مستقیم باقی می ماند ، اما کاهش شیب را تجربه می کند. هنگامی که دامنه زمان به سمت چپ منتقل می شود ، افزایش شیب وجود دارد. این ویژگی اصلی است که شما باید از این بخش به خاطر بسپارید. تغییر در دامنه زمانی با تغییر شیب فاز مطابقت دارد.

شکل (b) و (f) یک مورد منحصر به فرد را نشان می دهد که در آن فاز کاملاً صفر است. این زمانی اتفاق می افتد که سیگنال دامنه زمانی حول نمونه صفر متقارن باشد. در نگاه اول، این تقارن ممکن است در (ب) آشکار نباشد. ممکن است به نظر برسد که سیگنال در اطراف نمونه 256 (یعنی N/2) متقارن است. به یاد داشته باشید که DFT دامنه زمان را به صورت دایره ای مشاهده می کند، که نمونه صفر ذاتاً به نمونه N-1 متصل است. هر سیگنالی که حول نمونه صفر متقارن باشد در اطراف نمونه N/2 نیز متقارن خواهد بود و بالعکس. هنگام استفاده از اعضای خانواده تبدیل فوریه که حوزه زمان را به صورت دوره ای نمی بینند (مانند DTFT)، تقارن باید در حدود صفر نمونه باشد تا فاز صفر تولید شود.

شکل (د) و (ح) چیزی شبیه به یک معما را نشان می دهد. ابتدا تصور کنید که (d) با تغییر شکل موج در (c) کمی بیشتر به سمت راست شکل گرفته است. این بدان معنی است که فاز در (h) شیب منفی کمی بیشتر از (g) خواهد داشت. این مرحله به صورت خط 1 نشان داده شده است. در مرحله بعد، تصور کنید که (d) با شروع با (a) و انتقال آن به چپ شکل گرفته است. در این حالت، فاز باید کمی شیب مثبت تر از (e) داشته باشد، همانطور که در خط 2 نشان داده شده است. در نهایت، توجه داشته باشید که (d) در اطراف نمونه N/2 متقارن است و بنابراین باید فاز صفر داشته باشد، همانطور که نشان داده شده است. توسط خط 3. کدام یک از این سه فاز صحیح است؟همه آنها بسته به نحوه چیدمان ابهامات فاز π و 2π (مورد بحث در فصل 8) هستند. به عنوان مثال، هر نمونه در خط 2 با نمونه مربوطه در خط 1 با مضرب صحیح 2π متفاوت است و آنها را برابر می کند. برای ارتباط خط 3 با خطوط 1 و 2 باید ابهامات π را نیز در نظر گرفت.

برای درک اینکه چرا فاز مانند آن رفتار می کند، تصور کنید که یک شکل موج را با یک نمونه به سمت راست تغییر دهید. این بدان معنی است که تمام سینوسی هایی که شکل موج را تشکیل می دهند نیز باید با یک نمونه به سمت راست منتقل شوند. شکل 10-4 دو سینوسی را نشان می دهد که ممکن است بخشی از شکل موج باشند. در (a)، موج سینوسی فرکانس بسیار پایینی دارد و یک جابجایی یک نمونه تنها کسری کوچک از یک سیکل کامل است. در (ب)، سینوسی دارای فرکانس نیمی از نرخ نمونه برداری است، بالاترین بسامدی که می تواند در داده های نمونه گیری وجود داشته باشد. یک شیفت نمونه در این فرکانس برابر است با یک سیکل 1/2 کامل یا رادیان π. یعنی وقتی یک شیفت بر حسب تغییر فاز بیان می شود، متناسب با فرکانس سینوسی در حال جابجایی می شود.

به عنوان مثال ، یک شکل موج را در نظر بگیرید که در اطراف نمونه صفر متقارن باشد و بنابراین یک فاز صفر دارد. شکل 10-5A نشان می دهد که چگونه مرحله این سیگنال هنگام تغییر چپ یا راست تغییر می کند. در بالاترین فرکانس ، نیمی از میزان نمونه برداری ، فاز با π برای هر نمونه به سمت چپ افزایش می یابد و با π برای هر یک از نمونه ها به سمت راست کاهش می یابد. در فرکانس صفر هیچ تغییر فاز وجود ندارد ، و تمام فرکانس های بین دنبال کردن در یک خط مستقیم.

تمام نمونه هایی که تاکنون استفاده کرده ایم فاز خطی است. شکل 10-5b نشان می دهد که سیگنال های فاز غیرخطی به همان روش واکنش نشان می دهند. در این مثال فاز غیرخطی یک خط مستقیم با دو پالس مستطیل شکل است. هنگامی که دامنه زمان تغییر می کند ، این ویژگی های غیرخطی به سادگی در شیب در حال تغییر قرار می گیرند.

وقتی شکل موج دامنه زمان تغییر می کند در قسمت های واقعی و خیالی چه اتفاقی می افتد؟به یاد بیاورید که سیگنال های دامنه فرکانس در نماد مستطیل شکل تقریباً غیرممکن است. قطعات واقعی و خیالی به طور معمول مانند نوسانات تصادفی و بدون الگوی ظاهری به نظر می رسند. هنگامی که سیگنال دامنه زمان تغییر می کند ، الگوهای wiggly از قطعات واقعی و خیالی حتی نوسان تر و تفسیر آن دشوار می شوند. وقت خود را در تلاش برای درک این سیگنال ها یا نحوه تغییر آنها با تغییر دامنه زمان هدر ندهید.

شکل 10-6 نمایش جالبی از اطلاعات موجود در فاز است و چه اطلاعاتی در بزرگی وجود دارد. شکل موج در (a) دارای دو ویژگی بسیار مجزا است: یک لبه در حال افزایش در نمونه 55 ، و یک لبه در حال سقوط در نمونه شماره 110. لبه ها هنگام رمزگذاری اطلاعات به شکل شکل موج بسیار مهم هستند. یک لبه نشان می دهد که چه اتفاقی می افتد ، تقسیم هر آنچه در سمت چپ از هر آنچه در سمت راست است ، تقسیم می شود. این اطلاعات رمزگذاری شده دامنه زمان به صورت خالص ترین شکل آن است. برای شروع تظاهرات ، DFT از سیگنال در (a) گرفته می شود ، و طیف فرکانس تبدیل شده به نماد قطبی. برای یافتن سیگنال در (b) ، فاز با اعداد تصادفی بی ن-π و π جایگزین می شود ، و DFT معکوس که برای بازسازی شکل موج دامنه زمان استفاده می شود. به عبارت دیگر ، (ب) فقط بر اساس اطلاعات موجود در بزرگی مبتنی است. به یک روش مشابه ، (c) قبل از استفاده از DFT معکوس ، با جایگزینی بزرگی با اعداد تصادفی کوچک یافت می شود. این باعث می شود بازسازی (c) صرفاً بر اساس اطلاعات موجود در مرحله باشد.

نتیجه؟مکان لبه ها به وضوح در (c) وجود دارد ، اما کاملاً در (b) وجود ندارد. این امر به این دلیل است که وقتی بسیاری از سینوسی ها در همان مکان افزایش می یابند ، یک لبه شکل می گیرد ، فقط در صورت هماهنگی مراحل آنها ممکن است. به طور خلاصه ، بخش اعظم اطلاعات در مورد شکل شکل موج دامنه زمان در فاز موجود است ، نه بزرگی. این می تواند با سیگنالهایی که اطلاعات آنها در دامنه فرکانس ، مانند سیگنال های صوتی رمزگذاری شده اند ، در تضاد باشد. بزرگی برای این سیگنال ها مهمترین است ، با این که فاز فقط نقش جزئی دارد. در فصل های بعدی خواهیم دید که این نوع درک استراتژی هایی برای طراحی فیلترها و سایر روشهای پردازش سیگنال ها ارائه می دهد. درک چگونگی ارائه اطلاعات در سیگنال ها همیشه اولین قدم در DSP موفق است.

چرا تقارن چپ راست با یک مرحله صفر (یا خطی) مطابقت دارد؟شکل 10-7 جواب را ارائه می دهد. چنین سیگنالی می تواند در نیمه سمت چپ و نیمه راست تجزیه شود ، همانطور که در (a) ، (b) و (c) نشان داده شده است. نمونه در مرکز تقارن (در این حالت صفر) به طور مساوی بین نیمه های چپ و راست تقسیم می شود و به این دو طرف اجازه می دهد تا تصاویر آینه ای کامل از یکدیگر باشند. بزرگی این دو نیمه ، همانطور که در (e) و (f) نشان داده شده است ، یکسان خواهد بود ، در حالی که فازها مانند (ساعت) و (i) در علامت مخالف خواهند بود. دو مفهوم مهم از این خارج می شوند. اول ، هر سیگنالی که بین چپ و راست متقارن باشد ، یک فاز خطی خواهد داشت زیرا فاز غیرخطی نیمه سمت چپ دقیقاً فاز غیرخطی نیمه راست را لغو می کند.

دوم ، تصور کنید (B) به گونه ای که (C) شود. این تلنگر سمت چپ در دامنه زمان هیچ کاری را به بزرگی انجام نمی دهد ، اما نشانه هر نقطه در مرحله را تغییر می دهد. به همین ترتیب ، تغییر علامت فاز سیگنال دامنه زمان را به راست و راست می چرخاند. اگر سیگنال ها مداوم باشند ، تلنگر در حدود صفر است. اگر سیگنال ها گسسته باشند ، تلنگر در اطراف نمونه صفر و نمونه N /2 به طور همزمان است.

تغییر علامت فاز یک عمل به اندازه کافی مشترک است که نام و نماد خاص خود را به خود اختصاص می دهد. این نام کونژوگه پیچیده است و با قرار دادن یک ستاره در سمت راست سمت راست متغیر نشان داده می شود. به عنوان مثال ، اگر x [f] از MAGX [F] و Phasex [F] تشکیل شود ، سپس x * [f] به عنوان ترکیب پیچیده گفته می شود و از MAGX [F] و - Phasex [F] تشکیل شده است. در نماد مستطیل شکل ، ترکیب پیچیده با ترک قسمت واقعی و تغییر نشانه قسمت خیالی یافت می شود. از نظر ریاضی ، اگر x [f] از rex [f] و imx [f] تشکیل شده باشد ، سپس x * [f] از rex [f] و - imx [f] ساخته شده است.

در اینجا چندین نمونه از نحوه استفاده از ترکیبات پیچیده در DSP آورده شده است. اگر x [n] یک تبدیل فوریه از x [f] داشته باشد ، سپس x [- n] دارای یک تبدیل فوریه از x ∗ [f] است. در کلمات ، چرخش دامنه زمان به سمت چپ به راست مربوط به تغییر علامت فاز است. به عنوان نمونه دیگر ، از فصل 7 به یاد بیاورید که همبستگی را می توان به عنوان یک همبستگی انجام داد. این کار با چرخاندن یکی از سیگنال های چپ به راست انجام می شود. به شکل ریاضی ، a [n] * b [n] حلقوی است ، در حالی که [n] * b [- n] همبستگی است. در حوزه فرکانس این عملیات به ترتیب با [F] × B [F] و A [F] × B * [F] مطابقت دارد. به عنوان نمونه آخر ، یک سیگنال دلخواه ، x [n] و طیف فرکانس آن ، x [f] را در نظر بگیرید. طیف فرکانس را می توان با ضرب آن توسط کونژوگه پیچیده آن ، یعنی x [f] × x * [f] به فاز صفر تغییر داد. در کلمات ، هر مرحله X [F] اتفاق می افتد با افزودن مخالف آن لغو می شود (به یاد داشته باشید ، وقتی طیف فرکانس چند برابر می شود ، مراحل آنها اضافه می شود). در دامنه زمان ، این بدان معنی است که x [n] * x [-n] (سیگنالی که با یک نسخه چپ راست به سمت چپ خود پیچیده شده است) تقارن سمت چپ را در اطراف نمونه صفر ، صرف نظر از آنچه x [n] دارد ، خواهد داشت. واد

برای بسیاری از مهندسان و ریاضیدانان ، این نوع دستکاری DSP است. اگر می خواهید با این گروه ارتباط برقرار کنید ، به استفاده از زبان آنها عادت کنید.