قدم به جلو در مدل سازی اپیدمیولوژیک: معرفی عملکرد شاخص برای گرفتن امواج

در قرن گذشته از مدل ریاضی برای نشان دادن گسترش پویا عفونی استفاده شده است. هدف تعیین تعداد کل کلاسهای عفونی ، بهبود یافته و مستعد است ، اما کلاس ها فقط نمایانگر تجمع هستند. داشتن این کلاس ها قادر به پیش بینی امواج نخواهد بود ، برای تعیین تعداد روزانه موارد تازه آلوده برخی از محاسبات اضافی مورد نیاز است. داده های جمع آوری شده از موقعیت های دنیای واقعی به عنوان روز به روز عفونت های تازه نشان داده می شوند ، از این داده ها به تعیین تعداد امواج کمک می کنند. از مدل های ریاضی موجود فعلی نمی توان برای پیش بینی امواج استفاده کرد ، در حالی که با شناختن تعداد پیش بینی شده امواج می توان چندین اقدامات را برای کنترل وضعیت انجام داد. برای حل این مشکل ، ما این واقعیت را زیر سوال بردیم که میزان عفونت و بازیابی ثابت است و یک عملکرد شاخص را پیشنهاد می کند ، عملکرد با استفاده از داده های تجربی بدست می آید. عملکرد شاخص به عنوان نرخ استفاده می شود و به مدل ریاضی معرفی می شود. ما یک مدل SIR ساده با انواع مختلف اپراتورهای دیفرانسیل از جمله مشتقات کلاسیک و کسری در نظر گرفتیم. مدل ها با استفاده از طرح های عددی شناخته شده عددی حل شدند. راه حل های عددی برای پارامترهای مختلف نظری ترسیم شد ، نتایج به دست آمده رفتارهای دنیای واقعی را نشان می دهد. برای آزمایش کارآیی این رویکرد جدید ، ما داده ها را از جنوب Afrıca جمع آوری کردیم و با داده های تجربی مقایسه کردیم. نه تنها امواج مدل ما بلکه داده های تجربی را نیز بسیار دقیق متناسب می کند. این رویکرد جدید درهای جدیدی از تحقیقات به سمت انقلاب را برای مدل سازی اپیدمیولوژیک باز خواهد کرد.

1. مقدمه

محققان از مدل سازی برای تکثیر مشکلات دنیای واقعی و تلاش برای ارائه رفتار آینده در مورد چنین مشکلاتی استفاده می کنند. این معمولاً از طریق مدلهای ریاضی حاصل می شود. در واقع برای داشتن پیش بینی های بسیار خوب ، داده ها باید مورد تجزیه و تحلیل قرار گیرند ، سپس مدل ریاضی با داده های جمع آوری شده عاری از عدم قطعیت ها مقایسه می شود. با این حال ، یکی از دشوارترین بخش این تکلیف تبدیل از مشاهده به معادلات ریاضی است. در واقع اگر تبدیل از حقایق مشاهده شده به مدل ریاضی نادرست باشد ، خروجی نیز منجر به پیش بینی اشتباه خواهد شد. برای درک بهتر شیوع یک بیماری عفونی خاص ، ریاضیدانان از مدل های ریاضی برای تکرار حقایق مشاهده شده استفاده می کنند. در سالهای گذشته محققان تلاش زیادی برای الگوبرداری از شیوع برخی از بیماری های عفونی کرده اند [3]. با این حال ، هنگام مقایسه داده های جمع آوری شده با مدلهای ریاضی ، بیشتر اوقات انحراف از داده های جمع آوری شده و مدلهای ریاضی وجود دارد ، یک نشانه واضح است که یا ریاضیات اشتباه است یا داده ها نامشخص هستند. با این حال ، بسیاری از داده ها صحیح هستند اما یک رفتار متقاطع واضح وجود دارد که نمی تواند توسط مدلهای ریاضی اسیر شود. به ویژه ، در این زمینه ، مفهومی که به عنوان میزان عفونی یا بهبودی یا مرگ شناخته می شود در مدل ریاضی استفاده می شود. با این حال ، در بسیاری از مقالات منتشر شده ، این نرخ به عنوان ثابت در نظر گرفته می شود ، با وجود این که داده های جمع آوری شده نشانه روشنی را نشان می دهد که نرخ ثابت نیست. هنوز فرض بر این است که نرخ نسبت ثابت است. نکته دیگر برای مطرح کردن ، نقشه ای است که توسط مدلهای ریاضی نشان داده شده است ، بیشتر اوقات از چنین توطئه ها یا پیش بینی ها ، پیش بینی این گسترش دشوار است یا نه ، به طور کلی پیش بینی مقادیر انباشت ارائه می شود ، در حالی که یکپیش بینی پیش بینی روزانه مشخص نیست. این گاهی باعث می شود که مدل های ریاضی نتیجه مشکوک شوند. آیا واقعاً می توانیم از این مدل ها برای پیش بینی رفتار آینده گسترش استفاده کنیم؟یکی از موفق ترین مفاهیم مورد استفاده در این زمینه ، تعداد تولید مثل است [5] ، اما تاکنون تعداد تولید مثل ممکن است نتواند به ما نشان دهد یا نه گسترش یک بیماری عفونی خاص منجر به چند امواج خواهد شد. برای دستیابی به درستی تبدیل از حقایق مشاهده شده به فرمول های ریاضی ، مفاهیم کمی وجود دارد که باید تجدید نظر شود.

میزان عفونت چقدر است؟

قدرت عفونت ها چیست؟

الگوهای متقاطع ارائه شده توسط گسترش چیست؟

چگونه می توان تعداد عفونت های جدید روزانه را پیش بینی کرد؟

از چه اپراتور دیفرانسیل برای مدل سازی گسترش داده شده و چگونگی شناسایی آن باید استفاده شود؟

در این مقاله ، برخی از نکات فوق با هدف حرکت حوزه اپیدمیولوژیک به جلو مورد بررسی قرار خواهد گرفت.

2 نظریه موجود

یکی از بزرگترین سهم ریاضیدانان در زمینه مدل سازی بیولوژیکی شاید ساخت مدل های ریاضی باشد که قادر به تکثیر گسترش پویا بیماری عفونی است. در واقع چندین تئوری در سالهای گذشته پیشنهاد شده است و از آنها برای ارائه مشاوره در مورد شیوع بیماری های عفونی استفاده شده است. به عنوان مثال ، مدل SIR برای پیش بینی تعداد تجمع کلاسهای مستعد (ها) ، عفونی (I) و بازیابی (R) پیشنهاد شده است [4]. این مدل با استفاده از برخی پارامترهای مهم از جمله میزان عفونت ، میزان بهبودی بدست می آید. در دهه های گذشته ، این نرخ ها ثابت در نظر گرفته شده اند ، اما هنگام جمع آوری داده ها از وضعیت دنیای واقعی ، نشان می دهد که نرخ ممکن است تابعی از زمان باشد. مهمتر از همه ، مفهوم تعداد تولید مثل به عنوان نشانه ای از ثبات مدل و راهنمای مربوط به بقا یا انقراض ویروس معرفی شده است. در واقع ، برخی از پیش بینی ها به طور دقیق انجام شده است ، با این حال ، این تئوری ها به نشان دادن هیچ یک از امواج کمک نمی کنند. این امر برای تصمیم گیری بسیار مهم است ، اگر نظریه های ریاضی یا مدل ها بتوانند نشان دهند که یا نه ، این گسترش موج خواهد داشت ، اقدامات می تواند توسط مقامات پزشکی و دولتی در مورد چگونگی ارائه این گسترش برای جلوگیری از امواج انجام شود.

به طور کلی ، ما مدل SIR زیر را در نظر می گیریم که سیستم فوق همیشه در معرض شرایط اولیه S (0) ، I (0) و R (0) قرار می گیرد. اینها همه مثبت یا صفر هستند. تجزیه و تحلیل همیشه با اثبات راه حل های مثبت شروع می شود ، جایی که از آن خواسته می شود که برای هر زمان ، راه حل ها (t) ، i (t) و r (t) مثبت باشد. مرحله دوم ایجاد نقاط تعادل است که بعداً برای تدوین تولید مثل استفاده می شود. تجزیه و تحلیل Lyapunov را می توان دنبال کرد ، می توان ثبات محلی و جهانی مدل ها را ایجاد کرد.

همانطور که در مقاله توسط آتانگانا و آراز [6] توضیح داده شد، تشخیص امواج را می توان در مراحل زیر به دست آورد. معادلات (S * I * R *) را حل می کنیم، سپس شرایطی که در آن موارد فوق برآورده می شوند، بدست می آیند. با استفاده از تجزیه و تحلیل مشتق دوم، مقعر به بالا و مقعر را می توان تشخیص داد.

3 رویکرد جدید: معرفی تابع نشانگر روزانه

به منظور در نظر گرفتن تغییرات واقعی رخ داده در سناریوی دنیای واقعی، در این بخش یک روش جایگزین برای به دست آوردن یک مدل اپیدمیولوژیک با نرخ ثابت معرفی می کنیم. اجازه دهید مدل ساده SIR زیر را در نظر بگیریم: در اینجا فرض می کنیم γ = γ (t)، τ = τ (t) توابع زمان هستند که با استفاده از داده های تجربی به دست می آیند: به عنوان مثال، پس از جمع آوری آلودگی روزانه جدید (d₁، د₂. د_n)

نرخ بین دو روز را می توان به عنوان جایی که داده های مشاهده شده روز d محاسبه کرد_{من +1}تابع نشانگر روزانه را می توان به صورت زیر به دست آورد و بنابراین، مدل را می توان به صورت زیر فرموله کرد: مدل فوق را می توان برای ترسیم دقیقتر امواج از d استفاده کرد.₁به د_n. با این حال، برای به دست آوردن یک پیش بینی مناسب، باید با بدست آوردن γ درون یابی کنیم_حداکثر(t)، γ (t) و γ_دقیقه(ت). این توابع را می توان با استفاده از میانگین متحرک آمار بدست آورد.

سیستم فوق را می توان با استفاده از هر طرح عددی دقیقی حل کرد، به عنوان مثال آدامز-باشفورث برای سیستم کلاسیک.₁= S، I₂= من و من₃= R. برای آزمایش اثربخشی روش، ما در اینجا برخی از شبیه سازی های عددی ارائه شده را ارائه می کنیم. علاوه بر این، داده های جمع آوری شده از آفریقای جنوبی در نظر گرفته شده و با مدل پیشنهادی مقایسه شده است. داده ها از 5 مارس 2020 تا 28 ژانویه 2022 جمع آوری شده است.