محاسبه ابعاد فراکتال ها

آخرین مطالب

امکانات وب

محاسبه ابعاد فراکتال ها

علاوه بر شفاب بودن بصری ، فراکتال ها ویژگی های جالب دیگری را نیز به نمایش می گذارند. به عنوان مثال ، توجه کنید که هر مرحله از تکرار واشر Sierpinski یک چهارم از منطقه باقی مانده را حذف می کند. اگر این روند به طور نامحدود ادامه یابد ، ما اساساً تمام منطقه را از بین می بریم ، به این معنی که ما با یک منطقه 2 بعدی شروع کردیم و به نوعی با چیزی کمتر از آن خاتمه می دهیم ، اما به ظاهر بیشتر از یک خط 1 بعدی.

برای کشف این ایده ، باید در مورد بعد بحث کنیم. چیزی شبیه به یک خط 1 بعدی است. فقط طول دارد. هر منحنی 1 بعدی است. مواردی مانند جعبه ها و دایره ها 2 بعدی هستند ، زیرا دارای طول و عرض هستند و یک منطقه را توصیف می کنند. اشیاء مانند جعبه ها و سیلندرها دارای طول ، عرض و قد هستند و یک حجم را توصیف می کنند و 3 بعدی هستند.

1-dimensional objects include a straight line and an irregular wavy line. 2-dimensional objects include a rectangle, a triangle, and a circle. 3-dimensional objects include a cube and a cylinder.

برخی از قوانین برای مقیاس بندی اشیاء ، مربوط به ابعاد آنها اعمال می شود.

اگر من یک خط با طول 1 داشتم و می خواستم طول آن را به 2 برسانم ، به دو نسخه از خط اصلی نیاز دارم. اگر من یک خط طول 1 داشتم و می خواستم طول آن را به 3 تقسیم کنم ، به سه نسخه اصلی نیاز دارم.

اگر مستطیل با طول 2 و ارتفاع 1 داشتم و می خواستم طول و عرض آن را با 2 مقیاس کنم ، به چهار نسخه مستطیل اصلی نیاز دارم. اگر می خواستم طول و عرض 3 را مقیاس کنم ، به نه نسخه مستطیل اصلی نیاز دارم.

A rectangle with sides measuring 1 and 2. Next, four copies of that rectangle to form a larger rectangle with sides measuring 2 and 4. Next, nine copies of the first rectangle to form a larger rectangle with sides measuring 3 and 6.

اگر یک جعبه مکعب با طرفین طول 1 داشتم و می خواستم طول و عرض آن را با 2 مقیاس کنم ، به هشت نسخه از مکعب اصلی نیاز دارم. اگر می خواستم طول و عرض را با 3 مقیاس کنم ، به 27 نسخه از مکعب اصلی نیاز دارم.

A cube with sides measuring 1 by 1 by 1. Next, eight copies of that cube to form a larger cube with sides measuring 2 by 2 by 2. Next, 27 copies of the original cube to form a larger cube measuring 3 by 3 by 3.

توجه کنید که در مورد 1 بعدی ، نسخه های مورد نیاز = مقیاس.

در مورد 2 بعدی ، نسخه های مورد نیاز = مقیاس [لاتکس]^[/لاتکس].

در مورد 3 بعدی ، نسخه های مورد نیاز = مقیاس [لاتکس]^[/لاتکس].

از این مثالها ، ممکن است الگویی را استنباط کنیم.

رابطه مقیاس مقیاس

برای مقیاس یک شکل d بعدی توسط یک عامل مقیاس پذیر ، تعداد نسخه های C از شکل اصلی مورد نیاز توسط:

مثال

برای تعیین ابعاد واشر Sierpinski از رابطه مقیاس مقیاس استفاده کنید.

فرض کنید ما واشر اصلی را برای داشتن طول جانبی تعریف می کنیم. واشر بزرگتر نشان داده شده دو برابر و دو برابر بلند است ، بنابراین توسط یک عامل 2 مقیاس شده است.

توجه کنید که برای ساخت واشر بزرگتر ، 3 نسخه از واشر اصلی مورد نیاز است.

با استفاده از رابطه مقیاس مقیاس [لاتکس] c = s^[/لاتکس] ، معادله [لاتکس] 3 = 2^[/لاتکس] را بدست می آوریم.

از آنجا که [لاتکس] 2^= 2 [/لاتکس] و [لاتکس] 2^= 4 [/لاتکس] ، بلافاصله می توانیم ببینیم که D در جایی بین 1 تا 2 است. واشر بیش از یک شکل 1 بعدی است ، اما ما منطقه زیادی را که اکنون کمتر از 2 بعدی است ، دور کرده ایم.

حل معادله [لاتکس] 3 = 2^[/لاتکس] به لگاریتم نیاز دارد. اگر قبلاً لگاریتم ها را مطالعه کرده اید ، ممکن است به یاد بیاورید که چگونه این معادله را حل کنید (اگر اینطور نیست ، فقط به کادر زیر بروید و از آن فرمول با کلید ورود به سیستم در یک ماشین حساب استفاده کنید):

لگاریتم هر دو طرف را بگیرید.

از ویژگی Exponent از سیاههها استفاده کنید.

ابعاد واشر در حدود 1. 585 است.