اصول نوسان ساز حرکت

در پایان این بخش ، شما قادر خواهید بود:

• یک نوسان ساز هارمونیک ساده را شرح دهید.
• پیوند بین حرکت هارمونیک ساده و امواج را توضیح دهید.

نوسانات سیستمی که در آن می توان نیروی خالص را با قانون هوک توصیف کرد ، از اهمیت ویژه ای برخوردار است ، زیرا آنها بسیار رایج هستند. آنها همچنین ساده ترین سیستم های نوسان هستند. حرکت هارمونیک ساده (SHM) نامی است که به حرکتی نوسان برای سیستمی داده می شود که در آن می توان نیروی خالص را با قانون هوک توصیف کرد ، و چنین سیستمی به نوسان ساز هارمونیک ساده گفته می شود. اگر نیروی خالص را می توان با قانون هوک توصیف کرد و هیچ میرایی (توسط اصطکاک یا سایر نیروهای غیر محافظه کار) وجود ندارد ، یک نوسان ساز هارمونیک ساده با جابجایی مساوی در هر دو طرف موقعیت تعادل نوسان می کند ، همانطور که برای یک شیء نشان داده شده استچشمه در شکل 1. حداکثر جابجایی از تعادل دامنه x نامیده می شود. واحدهای مربوط به دامنه و جابجایی یکسان هستند ، اما به نوع نوسان بستگی دارند. برای جسم در بهار ، واحدهای دامنه و جابجایی متر هستند. در حالی که برای نوسانات صوتی ، آنها واحدهای فشار دارند (و انواع دیگر نوسانات هنوز واحدهای دیگری نیز دارند). از آنجا که دامنه حداکثر جابجایی است ، مربوط به انرژی موجود در نوسان است.

شکل 1. یک شیء متصل به یک کشویی بهاری بر روی یک سطح بدون اصطکاک یک نوسان ساز هارمونیک ساده بدون عارضه است. هنگامی که از تعادل جابجا می شود ، جسم حرکت هارمونیکی ساده ای را انجام می دهد که دارای دامنه X و یک دوره t است. حداکثر سرعت شی با عبور از تعادل اتفاق می افتد. هرچه بهار سخت تر باشد ، دوره t کوچکتر است. هرچه جرم جسم بیشتر باشد ، دوره t بیشتر می شود.

آزمایش خانه: SHM و مرمر

یک کاسه یا حوضه را پیدا کنید که مانند نیمکره در قسمت داخلی شکل بگیرد. یک مرمر را درون کاسه قرار دهید و به طور دوره ای کاسه را کج کنید تا مرمر از پایین کاسه بچرخد تا به همان اندازه نقاط بلند در طرفین کاسه باشد. احساس نیروی مورد نیاز برای حفظ این حرکت دوره ای را بدست آورید. نیروی بازیابی چیست و نیرویی را که شما اعمال می کنید در حرکت ساده هارمونیک (SHM) مرمر بازی می کند؟

چه چیزی در مورد حرکت هارمونیک ساده بسیار مهم است؟یک نکته خاص این است که دوره T و فرکانس F از یک نوسان ساز هارمونیک ساده مستقل از دامنه است. به عنوان مثال ، رشته یک گیتار با همان فرکانس نوسان خواهد شد چه به آرامی یا سخت. از آنجا که دوره ثابت است ، از یک نوسان ساز هارمونیک ساده می توان به عنوان یک ساعت استفاده کرد.

دو عامل مهم بر دوره یک نوسان ساز هارمونیک ساده تأثیر می گذارد. دوره مربوط به چقدر سفت بودن سیستم است. یک شی بسیار سفت و محکم دارای یک نیروی بزرگ k است که باعث می شود سیستم دوره کمتری داشته باشد. به عنوان مثال ، می توانید سفتی یک تخته غواصی را تنظیم کنید - سخت تر آن است ، سریعتر ارتعاش می شود و دوره آن کوتاه تر است. دوره همچنین به جرم سیستم نوسان بستگی دارد. هرچه سیستم عظیم تر باشد ، دوره طولانی تر خواهد بود. به عنوان مثال ، یک فرد سنگین در هیئت مدیره غواصی ، آهسته تر از یک سبک ، به سمت بالا و پایین می رود.

در حقیقت ، جرم M و ثابت نیروی K تنها عواملی هستند که بر دوره و فراوانی حرکت هارمونیک ساده تأثیر می گذارند.

دوره نوسان ساز هارمونیک ساده

دوره یک نوسان ساز هارمونیک ساده توسط

و ، زیرا [لاتکس] f = frac \ [/لاتکس] ، فرکانس یک نوسان ساز هارمونیک ساده است

توجه داشته باشید که نه T و نه F هیچ وابستگی به دامنه ندارند.

آزمایش خانه: نوسانات توده و حاکم

دو حاکم چوبی یا پلاستیک یکسان پیدا کنید. نوار یک انتهای هر خط کش را محکم به لبه یک جدول نوار بزنید تا طول هر خط کش که از جدول بیرون زده است یکسان باشد. در انتهای آزاد یک نوار خط کش یک شیء سنگین مانند چند سکه بزرگ. انتهای حاکمان را به طور همزمان بچسبانید و مشاهده کنید که کدام یک در یک دوره زمانی تحت چرخه های بیشتری قرار می گیرد و دوره نوسان هر یک از حاکمان را اندازه گیری می کند.

مثال 1. فرکانس و دوره نوسانات را محاسبه کنید: کمک فنرهای بد در یک ماشین

اگر کمک فنرهای موجود در یک ماشین بد شوند ، ماشین در حداقل تحریک نوسان خواهد کرد ، مانند هنگام رفتن بیش از دست انداز در جاده و بعد از توقف (شکل 2 را ببینید). اگر جرم خودرو (از جمله بار آن) 900 کیلوگرم و ثابت نیروی (k) سیستم تعلیق 10 4 6 نانومتر در متر باشد ، فرکانس و دوره این نوسانات را برای چنین خودرو محاسبه کنید.

شکل 2. ماشین تندرست حرکت موجک را ایجاد می کند. اگر نیروی بازیابی در سیستم تعلیق فقط با قانون هوک قابل توصیف باشد ، موج یک عملکرد سینوسی است.(موج اثری است که با حرکت ماشین به سمت راست حرکت می کند.)

استراتژی

فرکانس نوسانات خودرو یک نوسان ساز هارمونیک ساده است که در معادله [لاتکس] f = frac آورده شده است<2pi>sqrt>\ [/لاتکس]. جرم و ثابت نیرو هر دو داده شده است.

راه حل

مقادیر شناخته شده K و M را وارد کنید:

فرکانس را محاسبه کنید:

You could use [latex]T=2pisqrt>\ [/لاتکس] برای محاسبه دوره ، اما استفاده از رابطه [لاتکس] t = frac \ [/لاتکس] ساده تر است و مقدار تازه موجود برای f را جایگزین می کنید:

بحث

مقادیر T و F هر دو برای یک ماشین تندرست مناسب به نظر می رسند. اگر در انتهای ماشین سخت فشار بیاورید و رها شوید ، می توانید این نوسانات را رعایت کنید.

پیوند بین حرکت هارمونیک ساده و امواج

شکل 3. موقعیت عمودی یک شیء تندرست در چشمه بر روی نوار کاغذ در حال حرکت ثبت شده است و موج سینوسی را به جا می گذارد.

اگر یک عکس در معرض زمان از ماشین تندرست که در آن سوار شده بود ، یک چراغ موجک ایجاد می کند ، همانطور که در شکل 2 نشان داده شده است. موقعیت آن بر روی نوار کاغذی متحرک. هر دو موج توابع سینوسی هستند. تمام حرکت هارمونیک ساده ارتباط نزدیکی با امواج سینوسی و کسین دارد.

جابجایی به عنوان تابعی از زمان t در هر حرکت هارمونیک ساده - یعنی آن ، که در آن می توان نیروی ترمیم خالص را با قانون هوک توصیف کرد ، توسط قانون هوک ارائه می شود

جایی که x دامنه است. در t = 0 ، موقعیت اولیه x است₀= x ، و جابجایی با یک دوره t به جلو و عقب می پردازد.(وقتی t = t ، دوباره x = x می گیریم زیرا cos 2π = 1.). علاوه بر این ، از این عبارت برای x ، سرعت V به عنوان تابعی از زمان توسط

شیء دارای سرعت صفر در حداکثر جابجایی است - برای مثال ، v = 0 هنگام t = 0 و در آن زمان x = x. علامت منفی در معادله اول برای V (t) جهت صحیح برای سرعت را نشان می دهد. به عنوان مثال ، درست پس از شروع حرکت ، سرعت منفی است زیرا سیستم به سمت نقطه تعادل حرکت می کند. سرانجام ، ما می توانیم با استفاده از قانون دوم نیوتن ، ابراز شتاب بگیریم.[سپس ما x (t) ، v (t) ، t و a (t) داریم ، مقادیر مورد نیاز سینماتیک و توصیف حرکت ساده هارمونیک.] طبق قانون دوم نیوتن ، شتاب [لاتکس] a = است frac = frac \ [/لاتکس]. بنابراین ، A (t) نیز یک عملکرد کازین است:

از این رو ، A (t) به طور مستقیم متناسب با و در جهت مخالف با A (t) است.

شکل 4 حرکت هارمونیک ساده یک شی را در یک بهار نشان می دهد و نمودارهای x (t) ، v (t) و a (t) را در مقابل زمان ارائه می دهد.

شکل 4. نمودارهای و در مقابل T برای حرکت یک شی در چشمه. نیروی خالص روی جسم را می توان با قانون هوک توصیف کرد ، بنابراین شیء حرکت هارمونیک ساده ای را انجام می دهد. توجه داشته باشید که موقعیت اولیه دارای جابجایی عمودی در حداکثر مقدار x خود است. V در ابتدا صفر و سپس منفی است که شیء به پایین می رود. و شتاب اولیه منفی است ، به سمت موقعیت تعادل و در آن نقطه صفر می شود.

مهمترین نکته در اینجا این است که این معادلات از نظر ریاضی ساده هستند و برای همه حرکت هارمونیک ساده معتبر هستند. آنها در تجسم امواج مرتبط با حرکت هارمونیک ساده بسیار مفید هستند ، از جمله تجسم نحوه اضافه کردن امواج با یکدیگر.

درک خود را بررسی کنید

قسمت 1

فرض کنید شما یک رشته بانجو را جمع کرده اید. شما یک یادداشت واحد را می شنوید که با صدای بلند شروع می شود و به آرامی با گذشت زمان آرام می شود. آنچه را که برای امواج صوتی از نظر دوره ، فرکانس و دامنه اتفاق می افتد توصیف کنید زیرا صدا در حجم کاهش می یابد.

راه حل

فرکانس و دوره اساساً بدون تغییر باقی می مانند. فقط با کاهش حجم ، دامنه کاهش می یابد.

قسمت 2

یک بچه نگهدار کودک را به سمت نوسان سوق می دهد. در نقطه ای که نوسان به X می رسد ، نقطه مربوطه روی موجی از این حرکت کجا خواهد بود؟

راه حل

x حداکثر تغییر شکل است که مطابق با دامنه موج است. نقطه روی موج یا در قسمت بالا یا پایین منحنی خواهد بود.

اکتشافات PHET: توده ها و چشمه ها

یک توده واقع گرایانه و آزمایشگاه بهار. توده ها را از چشمه ها آویزان کرده و سفتی و میرایی بهار را تنظیم کنید. شما حتی می توانید زمان کند کنید. آزمایشگاه را به سیارات مختلف منتقل کنید. یک نمودار انرژی جنبشی ، پتانسیل و حرارتی را برای هر بهار نشان می دهد.

برای اجرای شبیه سازی کلیک کنید.

راه حل های انتخاب شده

• حرکت هارمونیک ساده حرکت نوسان برای سیستمی است که فقط با قانون هوک قابل توصیف است. چنین سیستمی نیز یک نوسان ساز هارمونیک ساده نامیده می شود.
• Maximum displacement is the amplitude X . The period T and frequency f of a simple harmonic oscillator are given by [latex]T=2pisqrt>\ [/لاتکس] و [لاتکس] f = frac<2pi> sqrt<frac>\ [/لاتکس] ، جایی که m جرم سیستم است.
• جابجایی در حرکت هارمونیک ساده به عنوان تابعی از زمان توسط [لاتکس] x سمت چپ (t راست) = x text frac داده می شود<2pi>\ [/لاتکس].
• The velocity is given by [latex]vleft(t ight)=-_> متن frac<2pi>\[/latex], where [latex]_>= sqrt<frac>x \ [/لاتکس].
• شتاب [لاتکس] a (t) =- frac cos frac یافت می شود<2pi>\ [/لاتکس].

سوالات مفهومی

1. برای ایجاد حرکت ساده هارمونیک باید چه شرایطی را برآورده کرد؟
2. (الف) اگر فرکانس برای برخی از نوسان ثابت نباشد ، آیا نوسان می تواند حرکت هارمونیک ساده باشد؟(ب) آیا می توانید به نمونه هایی از حرکت هارمونیک فکر کنید که فرکانس ممکن است به دامنه بستگی داشته باشد؟
3. نمونه ای از یک نوسان ساز هارمونیک ساده را بیان کنید ، به طور خاص با توجه به اینکه چگونه فرکانس آن از دامنه مستقل است.
4. توضیح دهید که چرا انتظار دارید که یک شیء ساخته شده از یک ماده سفت برای ارتعاش در فرکانس بالاتر از یک شی مشابه ساخته شده از یک ماده اسفنجی باشد.
5. با عبور از یک کامیون باری با یک تریلر در بزرگراه ، متوجه می شوید که تریلر آن به آرامی در حال تندرست و پایین است. آیا بیشتر احتمال دارد که تریلر به شدت بارگیری شود یا تقریباً خالی باشد؟پاسخ خود را توضیح دهید.
6. برخی از افراد ماشین ها را تغییر می دهند تا بسیار نزدیک به زمین باشند تا زمانی که تولید شوند. آیا آنها باید چشمه های سخت تر نصب کنند؟پاسخ خود را توضیح دهید.

مشکلات و تمرینات

1. یک نوع ساعت فاخته با داشتن یک تندرست انبوه در چشمه ، معمولاً چیزی زیبا مانند کروبی در صندلی ، وقت خود را حفظ می کند. برای تولید یک دوره 0. 500 ثانیه برای جرم 0. 0150 کیلوگرم ، چه ثابت نیرو لازم است؟
2. اگر ثابت بهار یک نوسان ساز هارمونیک ساده دو برابر شود ، برای اینکه فرکانس حرکت یکسان باشد ، جرم سیستم به چه عاملی نیاز دارد؟
3. یک توده 0. 500 کیلوگرم که از یک نوسان بهاری با مدت 1. 50 ثانیه به حالت تعلیق درآمده است. برای تغییر دوره به 2. 00 ثانیه ، چه مقدار جرم باید به جسم اضافه شود؟
4. اگر شما آرزو نمی کنید دوره جدید بیشتر از 2. 01 ثانیه یا کمتر از 1. 99 ثانیه باشد ، چقدر Leeway (درصد و جرم) در انتخاب جرم شیء در مشکل قبلی وجود دارد؟
5. فرض کنید شما شیء را با جرم M به یک چشمه عمودی در ابتدا در حالت استراحت وصل کرده و بگذارید آن را بالا و پایین بکشید. شما شی را از استراحت در طول استراحت اصلی بهار آزاد می کنید.(الف) نشان دهید که بهار در پایین ترین نقطه خود نیروی صعودی 2. 00 میلی گرم را بر روی جسم اعمال می کند.(ب) اگر چشمه دارای ثابت نیرو 10. 0 نانومتر در متر باشد و یک شیء با جرم 0. 25 کیلوگرم در حال حرکت باشد ، همانطور که توضیح داده شده است ، دامنه نوسانات را پیدا کنید.(ج) حداکثر سرعت را پیدا کنید.
6. غواص در هیئت مدیره غواصی در حال حرکت ساده هارمونیک است. جرم وی 55. 0 کیلوگرم و مدت زمان حرکت او 0. 800 ثانیه است. غواص بعدی مرد است که دوره نوسان هارمونیک ساده 1. 05 ثانیه است. اگر توده هیئت مدیره ناچیز باشد ، توده او چیست؟
7. فرض کنید یک تخته غواصی که کسی روی آن نیست در یک حرکت هارمونیک ساده با فرکانس 4. 00 هرتز بالا و پایین می پرد. این تخته دارای وزن موثر 10. 0 کیلوگرم است. فرکانس حرکت هارمونیک ساده یک غواص 75 کیلوگرمی روی تخته چقدر است؟
8. دستگاهی که در شکل 6 نشان داده شده است، نوزادان را سرگرم می کند و در عین حال از سرگردانی آنها جلوگیری می کند. کودک در یک مهار که توسط یک ثابت فنر از چارچوب در آویزان شده است، می پرد.

شکل 6. اسباب بازی این کودک برای سرگرم کردن نوزادان به فنرها متکی است.(اعتبار: توسط Humboldthead، Flickr)

شکل 7. نوسانات یک چترباز قرار است تحت تاثیر چترباز دوم قرار گیرد.(اعتبار: ارتش ایالات متحده، www. army. mil)

واژه نامه

دامنه: حداکثر جابجایی از موقعیت تعادل جسمی که در اطراف موقعیت تعادل در نوسان است.

حرکت هارمونیک ساده: حرکت نوسانی در سیستمی که نیروی خالص را می توان با قانون هوک توصیف کرد.

نوسان ساز هارمونیک ساده: دستگاهی که قانون هوک را اجرا می کند، مانند جرمی که به فنر متصل است و انتهای دیگر فنر به یک تکیه گاه صلب مانند دیوار متصل است.